Геометрический смысл дифференциала

Определение  Дифференциалом функции в точке  называется выражение 

Обратимся к рисунку. На рисунке мы видим точку  и приращение аргумента . Приращением  функции в точке будет длина отрезка , а дифференциалом в этой точке  - длина отрезка . По своему геометрическому смыслу дифференциал дает приращение функции при условии, что функция будет расти с той же скоростью, что и в точке . Если приращение небольшое, то дифференциал можно использовать для приближенного нахождения функции в точке . Используем формулу:

Формула  

Мы видим, что если приращение достаточно большое, то и точность может быть неудовлетворительной. Если же нужно добиться необходимой точности, то следует использовать формулу Тейлора и оценку остаточного члена в ней. В заключении оценим значение функции в точке при помощи дифференциала. Возьмем , а , что соответствует . Имеем:  , . 

В результате получим: , а значение данной функции (с точностью до четвертого знака после запятой) равно 0,9063. Относительная погрешность приблизительно равна 0,4 %.Для получения более точного значения (например, с точность до 0,01 %) придётся использовать второй или даже третий член в разложении функции по формуле Тейлора.