Геометрический смысл производной

Рассмотрим на плоскости  произвольную функцию  , произвольную точку  и точку . Как мы знаем, производная функции   в точке  определяется как предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при :  .

На графике отношение приращения функции к приращению аргумента есть тангенс угла наклона секущей , то есть . Что происходит, при переходе к пределу при ?

При переходе к пределу точка  стремится к точке , а положение секущей неограниченно приближается к положению касательной . Таким образом, тангенс угла наклона касательной к функции в точке  равен производной.

Формула 1 Таким образом, мы можем привести формулу для касательной  к кривой в точке :

Пример 1  Найти уравнение касательной к кривой  в точке . Находим нужные нам величины:  ; . Таким образом уравнение касательной к кривой в точке  такое: