Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: формула и алгоритм

При написании этой статьи у нашей команды из копирайтера, редактора, контент-менеджера и эксперта в области геометрии ушло 15 человеко-часов.

Скрещивающиеся прямые в пространстве

🤔 Определение

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

В отличие от пересекающихся, у них нет общей точки. Также они отличаются от параллельных прямых, так как не обладают равными направляющими векторами. Геометрически их можно представить, как две прямые, проходящие в пространстве, например, через противоположные ребра куба.

Примером скрещивающихся прямых могут быть:

• Прямая, проходящая через основание пирамиды, и высота пирамиды, не пересекающая ее.
• Прямые, задающие траектории движения в пространстве, не находящиеся в одной плоскости.

Формула для вычисления расстояния

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Формула вычисления выглядит следующим образом:

😎 Формула

где:

• — направляющие векторы прямых.
• — вектор, соединяющий произвольные точки, лежащие на этих прямых.
• — векторное произведение направляющих векторов.
• — смешанное произведение векторов.
• — длина векторного произведения.

Пошаговый алгоритм расчета

1. Определение точек и направляющих векторов. Выберите по одной точке на каждой прямой (А и B) и направляющие векторы .
2. Нахождение вектора . Этот вектор соединяет точки A и B:  
3. Вычисление векторного произведения . Это произведение равно вектору, перпендикулярному к обеим прямым.
4. Вычисление смешанного произведения. Найдите , что представляет собой скаляр.
5. Подставьте значения в формулу. Разделите модуль смешанного произведения на длину векторного произведения.

Пример расчета

Даны две прямые:

где:

1. Найдем вектор .
2. Векторное произведение:
   Длина вектора:                  .
3. Смешанное произведение:
   
   
4. Расстояние:
   
   

✏ Заметка

Если прямые пересекаются, их расстояние равно нулю. Для параллельных прямых формула упрощается, так как векторное произведение направляющих векторов равно нулю, а расстояние определяется с помощью расстояния от одной точки до другой прямой.

Практическое применение

Расчет расстояния между скрещивающимися прямыми используется в инженерии для анализа трехмерных конструкций, в физике — для определения минимальных расстояний между траекториями движения, а в архитектуре — для проектирования сложных пространственных объектов.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это фундаментальная задача трехмерной геометрии. Используя векторный подход и предложенную формулу, можно точно и эффективно вычислить это расстояние. Практическое применение формулы подтверждает ее важность в решении как теоретических, так и прикладных задач.