Как перевести десятичную дробь в обыкновенную и наоборот

Чтобы разобраться в этой теме, в первую очередь следует разобраться с терминологией.

Дроби — это числа, состоящие из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Они делятся на две базовые разновидности: на обычные и десятичные.

Обычные записываются в виде двух чисел, верхнее из которых делится на нижнее. Цифра над чертой называется числителем, а после нее —знаменателем. Черта, находящаяся между ними это знак деления. Эта базовая информация, которая известна со времен начальной школы.

Когда речь идет об обычных дробях, то произносим их как, например, «четыре пятых», ели речь идет о дроби, которая выглядит следующим образом: 4/5.  Если же выражение выглядит как 4/100, то оно и так читается — «четыре разделить на сто». Оба этих варианта допустимы. 

Если же дробь смешная (то есть у  нее есть целая и дробная части), например, 3, 25, то она читается как «три целых, двадцать пять сотых».

Не стоит забывать, что такие выражения могут состоять как из числовых показателей (то есть обыкновенных чисел), так и из алгебраических переменных. К таким переменным относятся обозначения x, y и т.д. В этом случае один из показателей неизвестен и следует провести ряд вычислений, чтобы определить его значение.

Вторая разновидность записываются как целое число и его остаток после запятой. Запись происходит подобным образом. 0, 9 или 4, 65. В зависимости от того, сколько знаков стоит после запятой, меняется классификация чисел. 

Если две — сотая, три — тысячная и так далее. В приведенных примерах числах стоит произносить как «ноль и девять десятых» или «четыре и шестьдесят пять сотых». 

Такие выражения также делятся на две базовые категории: на конечные и бесконечные. Их главное отличие заключается в том, что у конченых есть точный результат. У бесконечных после запятой наблюдается бесконечная периодичность чисел. Например, если разделить 5 на 3, то получится 1,66666666… Для удобства это записывается как 1, (6), а произносится как «один и шесть в периоде».

Если говорить о таком виде, то следует отметить еще один факт, который поможет при дальнейших вычислениях: количество нулей на конце выражения ни на что не влияют и их можно отбросить для удобства. Также можно записать лишние — показатель, как и прежде останется неизменным.

Есть другие виды дробей, например, двоичные, которые преимущественно используются для работы на компьютере. Но в математике обычно используются две разновидности, которые упоминаются выше.

Для удобства вычисления обычную дробь часто представляют в виде десятичной и выполняют с ней разнообразные математические действия. Однако совершают и обратные действия. Например:(8/2)*4 = 16/1=16.

Можно подобрать много вариантов примеров как с одним, так и с другим вариантом.

Перевод десятичной в обыкновенную 

Как уже было упомянуто выше, для удобства вычислений десятичные дроби зачастую переводят в обыкновенные и наоборот. В первую очередь стоит рассмотреть второй вариант, поскольку он проще. Это делается по определенному алгоритму.

1. В числитель записываются все цифры без запятых и нулей слева.
2. В знаменатель поставить единицу и за ней столько нулей, сколько цифр в исходном выражении после запятой.
3. Если получится — сократить полученный результат до минимального показателя.

Последнее действие рекомендуется выполнять в любых случаях, так получается конечное значение.

Этот алгоритм можно проиллюстрировать конкретными примерами.

4,035 нужно перевести в обычную. Для этого производятся следующие действия. Записать полученное выражение в следующем виде: 4035/1000. После сократить ее на 5. В итоге финальный результат получается как 807/500.

Аналогичным образом можно поступать с любым другим выражением.  Например:  0, 0016 = 16:10000 = 4:2500= 1/625.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то ее можно сразу перевести в смешанное число. Дальше же действовать по приведенной выше схеме.

Этот случай также можно рассмотреть на примере. Число 146, 63529 нужно перевести в смешанную дробь. В итоге получается 146 (63529/10000). Таким образом записываются любые аналогичные выражения.

Обратный перевод: алгоритм действий

С переводом десятичной дроби в обыкновенную разобрались, теперь следует разобрать обратный вариант.

Прежде чем перейти к теории, нужно сделать одну оговорку. Некоторые дроби нуждаются в подготовке, если мы хотим произвести корректный перевод. Перед цифрой, которая стоит в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе.После того как этот нюанс был обговорен, перейдем конкретно к схеме перевода чисел:

1. В первую очередь, смотрим на исходное выражение, анализируем число в знаменателе.
2. Затем записываем «0» и ставим после него запятую.
3. После запятой переписываем цифры из числителя, основываясь на количестве нулей в знаменателе.

Это иллюстрируется конкретным примером. Так, например, число 56/100 нужно перевести в десятичную. По итогу выйдет результат, равный 0, 56.

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д.Также стоит разобрать ситуацию с нулями на более сложном примере на тот случай, если этот вопрос все еще вызывает сомнения.

В десятичный вид нужно перевести следующее выражение: 704/1000000. Результат будет — 0, 000704. Поскольку в числителе только три цифры, а в знаменателе — шесть нулей, то записываем после запятой три нуля и три цифры соответственно.

Выражения, где числитель меньше знаменателя, называются правильными. Если же ситуация обратная, то такие дроби — неправильные. У них, соответственно, знаменатель меньше числителя. И с теми, и с другими следует уметь одинаково успешно работать.

Любые из этих двух видов стоит уметь переводить в десятичные. Алгоритм в обоих случаях одинаковый. Для этого нужно записать цифру из числителя и отделить запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе. Это также иллюстрируется примером:

Пример №1 4634378894:100000 = 4634,378894.

Таким образом мы получаем итоговый результат.

Еще рекомендуется разобрать ситуации со смешанными случаями.  Если у выражения одна часть целая, а другая дробная, то такие выражения также следует уметь корректно переводить в десятичную.

Для этого необходимо записать целое число, поставить после него запятую, а после нее записать цифру из числителя плюс недостающие нули из знаменателя.

Также рассмотрим ситуацию на примере. Если нужно перевести 45 (16/100000), то в итоге получится 45, 00016.

Другие виды переводов

В знаменателях не всегда стоят десятки. Там могут находиться любые другие цифры. В таких ситуациях также надо уметь правильно переводить обычные дроби в десятичные.

Для этого стоит разделить числитель на знаменатель. В итоге получается следующее: 891:12 = 74, 25. Вычисление выполняется на калькуляторе либо в столбик.

Если числитель меньше знаменателя, то процесс происходит аналогичным образом. Например: 64:800 = 0, 08.

Можно проверить эту теорию на большом количестве аналогичных примеров. Где-то в ответе будет получаться целое число, в других случаях — десятичная дробь.

Других вариантов быть не может. Если получился другой ответ, то где-то в вычисление была допущена ошибка. Рекомендуется перерешать выражение с самого начала, чтобы найти и устранить ее.

Выше речь шла только о конечных и бесконечных периодических дробях. Поэтому появляется вопрос: может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической.  Ответ прост: нет. Такой вариант не может получиться и быть верным. Если это произошло, то опять же, где-то в вычислениях была допущена ошибка либо опечатка в самом задании.

Любая периодическая десятичная дробь переводится в обыкновенную. В этом случае, в отличие от предыдущего варианта, нет никаких ограничений.

Периоды бывают разными. От этого формата зависит дальнейший ход вычислений. Наиболее легкий случай — когда он равен нулю (он тоже может быть периодом). В таком случае это обычная десятичная дробь, которая переводится в обычную по классической схеме.

Это можно продемонстрировать на стандартном примере. Если по заданию нужно перевести 4, 25, то следует лишь отбросить ноль и совершать перевод по привычной схеме. В итоге получится 425/100 = 85/20.

Однако далеко не во всех случаях решение обстоит так просто. Если период отличен от нуля, то в таком случае периодическую часть следует рассматривать как сумму членов алгебраической прогрессии, которая убывает. Например:

Пример №2 0,(52)=0,52+0,0052+0,000052+0,00000052+..

Знаменатель можно условно обозначить знаком «у», При условии, что он больше нуля, но меньше единицы, то сумма выражения равна x/1-y, где x — это число в периоде. Эту формулу рекомендуется запомнить, чтобы потом применять в  решении.

Это можно рассмотреть на конкретном примере:Исходя из задания, нужно перевести 0,(5).

0,(5)=0,5+0,05+0,005+…

0,(5)=0,5+0,05+0,005+…= 0,5/ (1-0,1)=0,5/0,9=5/9.

Это и есть финальный результат, ответ, который требуется по заданию.

Аналогичным образом можно прорешать еще много выражений, чтобы разобраться в теме и понять механизм работы. Также неоднократное повторение одних и тех же действий помогает набить руку и минимизировать риск допущения ошибки.

Это обширная, сложная тема. С ними выполняется множество разноплановых действий, в том числе перевод из одного формата в другой. Если освоить алгоритм к каждому конкретному действию, то этот процесс не должен вызывать серьезных затруднений.