Логарифмическая функция

 Мы знаем, как определялся логарифм для действительной переменной. Он определялся как обратная функция к экспоненциальной функции . При замене местами переменные  и  мы получали функцию логарифм . Область определения логарифма на множестве действительных чисел , то есть значения, которые может принимать экспоненциальная функция.

На комплексной плоскости экспоненциальная функция принимает все значения кроме . Поэтому, логарифм будет определен для всех значений кроме значения . Запишем

.
Отсюда , а  и, поскольку аргумент определен с точностью до , то получаем окончательную формулу для логарифма:

.

Тем самым мы получили бесконечно-значную функцию. Функции при различных значениях  называются ветвями логарифма. В частности, ветвь при :  называется главной веткой логарифма.
Определим комплексное число в комплексной степени следующим образом:

.
Получили, что для любых  и  выражение  принимает бесконечное число значений. Приведем несколько примеров.

Пример 1 Вычислить:
Пользуясь  определением логарифма находим:
     ;
;
  ;
  ; 

Пример 2 Найти все значения следующих степеней: .
Используем определение степени, находим:

.
Эти точки всюду плотно расположены на единичной окружности .
     ; ;
    
.