Определение
Обратная матрица — это матрица, которая обратна исходной матрице в том смысле, что их произведение равно единичной матрице.
Иными словами, для квадратной матрицы А обратная матрица, обозначаемая как А-1, определяется таким образом, что
AxA-1= A-1xA=I, где I — единичная матрица.
Обратная матрица существует только для квадратных матриц. При этом она не обязательно существует для всех квадратных матриц.
Определение
Квадратная матрица — это матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов. То есть, если матрица имеет размерность n×n , то она является квадратной. Например, матрица размерности 3 x 3 или 4 x 4 — это квадратные матрицы.
Формула для вычисления обратной матрицы А-1 для квадратной матрицы А размерности n×n выглядит следующим образом:
A-1=1/det(A) x adj(A)
Где:
det(A) — определитель матрицы А;
adj(A) — матрица алгебраических дополнений (транспонированная матрица миноров) матрицы А.
Давайте рассмотрим простой пример нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы размерности 2 x 2. Пусть у нас есть матрица:
Шаги для нахождения обратной матрицы:
1. Вычисляем определитель матрицы А:
det(A) = 2 x 3 - 1 x 1 = 6 - 1 =5
2. Вычисляем матрицу алгебраических дополнений adj(A):
3. Для каждого элемента матрицы А алгебраическое дополнение это минор, умноженный на (-1) в степени суммы индексов строки и столбца этого элемента. В случае матрицы 2 x 2 алгебраические дополнения вычисляются просто.
4. Находим обратную матрицу А-1 по формуле:
5. Таким образом, обратная матрица для матрицы А равна:
Совет
Чтобы удостовериться, что вы нашли обратную матрицу правильно, выполните проверку, умножив исходную матрицу на предполагаемую обратную. Если результат этого умножения дает единичную матрицу, то ваша обратная матрица найдена правильно.
