Однородным линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: 
.Мы здесь будем рассматривать только однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Дадим несколько определений.
Система 
функций 
определенная на промежутке 
называется линейно зависимой, если существует такой набор констант 
, что
В противном случае система функций называется линейно независимой.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, имеют линейно независимых решений, . Общее решение (назовем его 
) имеет вид произвольной линейной комбинации этих решений:
.
Такая система линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений данного однородного уравнения. По аналогии с мерным пространством мы видим, что эта система решений может быть выбрана достаточно произвольно, нужно лишь следить за тем, чтобы функции были решениями рассматриваемого дифференциального уравнения, и чтобы они были линейно независимы.
Сам метод нахождения фундаментальной системой решений прост в идейном смысле. Мы рассматриваем характеристическое уравнение, связанное с дифференциальным уравнением:
Пусть мы нашли все корни характеристического уравнения. Тогда:
1) Простому действительному корню 
соответствует частное решение 
.
2) Действительному корню 
кратности 
соответствует линейно независимых частных решений 
.
3) Пусть имеется пара комплексно сопряженных корней: 
( отметим, что если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то и комплексно сопряженное этому корню число тоже является корнем). Тогда им соответствует следующая пара частных решений дифференциального уравнения: 
.
Приведем несколько примеров решения линейных однородных уравнений:
Пример 1 Решить уравнение:
.
Запишем характеристическое уравнение:
.
Его корни
. Им соответствуют частные решения
. Эта пара решений составляет фундаментальную систему решений уравнения, а общее решение имеет вид произвольной линейной комбинации этих решений:
.
Пример 2 Решить уравнение:
.
Составляем характеристическое уравнение
. Действительный корень угадываем
. Разложим характеристический многочлен на множители
. Остальные два корня комплексно сопряженные:
. Выпишем фундаментальную систему решений:
.
Общее решение этого дифференциального уравнения:
.
Пример 3 Решить уравнение:
,
.
Здесь заданы начальные условия (задача Коши). Находим общее решение уравнения. Характеристическое уравнение
имеет корни
. Следовательно, фундаментальная система решений
, а общее решение
.
Теперь найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем
Решая эту систему, получаем
. Таким образом, общее решение исходной задачи
, а частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
.
