Пусть задана последовательность 
. Она называется ограниченной, если существует такая постоянная 
, что любой член последовательности удовлетворяет неравенству 
. Последовательности не всегда имеют пределы.
Возьмем последовательность натуральных чисел: 
. Для такого бесконечного набора определяется подпоследовательность 
исходной последовательности .
У произвольной последовательности даже не всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А для ограниченных последовательностей это всегда возможно.
Теорема. (Больцано –Вейерштрасса).Из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.
Это означает, что если последовательность ограничена, то можно найти такую последовательность натуральных чисел: что предел последовательности существует.
Для любой последовательности , можно подбирать подпоследовательности которые имеют пределы. Такие пределы называются частичными пределами последовательности.
Пример Найти частичные пределы последовательности:
.
Выражение
при различных значениях
может принимать значения
.
При этом
. Следовательно, мы можем выбрать подпоследовательности стремящиеся к любому из этих значений:
Подпоследовательность стремящуюся к
:
.
Подпоследовательность стремящуюся к
:
Подпоследовательность стремящуюся к
:
.
Если последовательность ограничена, то среди частичных пределов этой последовательности всегда есть наименьший и наибольший. Они обозначаются соответственно
и
.
Если последовательность неограничена сверху то принимают
; если последовательность неограничена снизу, то принимают
.
Вообще определяют бесконечные пределы следующим образом. Пусть задана последовательность
Мы скажем, что
1).
, если для любого
существует такое
, что при
выполняется
.
2).
, если для любого
.
3).
, если для любого
.
