Ограниченные последовательности

Пусть задана последовательность . Она называется ограниченной, если существует такая постоянная , что любой член последовательности удовлетворяет неравенству . Последовательности не всегда имеют пределы.

Возьмем последовательность натуральных чисел: . Для такого бесконечного набора определяется подпоследовательность  исходной последовательности  .

У произвольной последовательности даже не всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А для ограниченных последовательностей это всегда возможно.

Теорема. (Больцано –Вейерштрасса).Из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

Это означает, что если последовательность   ограничена, то можно найти такую последовательность натуральных чисел:   что предел последовательности   существует.

Для любой последовательности , можно подбирать подпоследовательности которые имеют пределы. Такие пределы называются частичными пределами последовательности.

Пример  Найти частичные пределы последовательности: .

Выражение   при различных значениях  может принимать значения .

При этом . Следовательно, мы можем выбрать подпоследовательности стремящиеся к любому из этих значений:  . Например, 

Подпоследовательность стремящуюся к : . 

Подпоследовательность стремящуюся к : 

Подпоследовательность стремящуюся к : .

Если последовательность ограничена, то среди частичных пределов этой последовательности всегда есть наименьший и наибольший. Они обозначаются соответственно и . 

Если последовательность неограничена сверху то принимают ; если последовательность неограничена снизу, то принимают . 

Вообще определяют бесконечные пределы следующим образом. Пусть задана последовательность  .

Мы скажем, что 

1). , если для любого  существует такое , что при  выполняется .

2). , если для любого  предел 1существует такое  , что при   выполняется .

3). , если для любого   существует такое   , что при   выполняется .