Число 
называется пределом последовательности 
(обозначение 
), если для любого 
найдется такое натуральное число 
, что при 
выполняется неравенство: 
Последовательности могут не иметь предела.
Последовательность, имеющая предел 
, называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.
Как определить предел последовательности? Во - первых нужно понять существует ли этот предел. Например, у последовательности 
(развернутый вид 
) предела нет.
Наличие предела может помочь определить критерий Коши:
Критерий Коши. Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда любого найдется такое натуральное число , что при 
выполняется неравенство: 
.
Используя критерий Коши сформулируем так сказать отрицание этого критерия, то есть условие равносильное отсутствию предела последовательности .
Отрицание критерия Коши. Последовательность не имеет предела тогда и только тогда, когда существует такое что для любого натурального числа 
, найдутся такие 
, что выполняется неравенство: 
.
Именно последняя формулировка позволяет доказать отсутствие предела последовательности.
Пример 1
Показать, что последовательность
не имеет предела.
Данная последовательность представляет собой последовательность частичных сумм гармонического ряда. Применим отрицание критерия Коши. Возьмем, а в качестве
берем
.
Тогда
.
Таким образом, данная последовательность не имеет предела.
Имеются несколько теорем помогающих находить предел, или, хотя бы, устанавливать наличие предела. Сначала несколько определений.
Последовательностьмонотонно возрастающей, если для любого
выполняется неравенство
;
монотонно убывающей, если для любого;
монотонно невозрастающей, если для любого
;
монотонно неубывающей, если для любого
.
Последовательность любого из перечисленных четырех типов называется монотонной.Последовательность
, что все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Теорема 1. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Следующая теорема носит название теоремы о зажатой переменной (иногда называют леммой о двух полицейских):Теорема 2. Пусть для последовательностей
и
выполнено неравенство
и пусть
. Тогда
тоже существует и равен
.
Кроме этих теорем имеются основные теоремы о пределах. Пусть пределы последовательностей
1).,
2).,
3).. В последнем случае требуется, чтобы
и
.
Пример 2 Доказать что последовательность
имеет предел.
Последовательность является монотонно убывающей. Кроме того, все ее члены положительны.Поэтому она ограничена (сверху ограничена своим первым членом, а снизу – нулем). По теореме о монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.
Пример 3 Доказать что последовательность
имеет предел.
Здесь последовательность монотонно возрастающая. Чтобы показать ее ограниченность рассмотрим логарифм общего члена и воспользуемся неравенством. Имеем:
Следовательно
для всех
и последовательность ограничена. По теореме о монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.
