Приближенное вычисление определенных интегралов
Имеется несколько способов вычислить определенный интеграл приближенно. Как и при построении интегральных сумм при определении интеграла Римана, сам промежуток интегрирования делится на равных частей, выбираются точки, в которых вычисляются значения функции, а затем применяется та или иная формула.
Конечно, имеющиеся программы позволяют находить определенные интегралы с любой точностью, однако не всегда сама функция задается аналитически, да и само вычисление интеграла приближенно полезно в учебном плане.
Формула прямоугольников.
Пусть функция непрерывна и достаточное число раз дифференцируема на конечном отрезке
и мы разделили отрезок на
равных частей точками
. Значения функции
в этих точках обозначим соответственно
, так что
. Различают две формулы прямоугольников. В первой формуле в интегральной сумме мы берем значения функций на левой границе трапеций, а во второй формуле — на правой.
-я формула прямоугольников:
-я формула прямоугольников:
В обоих случаях точность одинаковая (точки
конечно разные).
Формула трапеций.
В этой формуле мы заменяем маленькие криволинейные трапеции на обычные прямоугольные трапеции:
В этом случае формула такая:
Здесь точность уже выше: . Казалось бы, формула почти не различается с формулой прямоугольников, а точность — выше.
Формула Симпсона (параболическая формула).
Если в формулах прямоугольников, мы заменяли верхнюю функцию на один из концов, в формуле трапеций — на отрезок прямой, то в формуле Симпсона мы заменяем функцию сверху у маленькой трапеции на дугу параболы проходящей через три точки: две крайних и одна посередине. Для этого отрезок мы делим на
равных частей точками
. Точно так же значения функции в точках
обозначим
. И этих обозначениях формула Симпсона будет иметь вид:
,
где .
Пример 1 Найти приближенное значение определенного интеграла
по всем четырем формулам, и найти абсолютную и относительную погрешность в каждом способе.
Во всех способах деление промежутка происходит на равных частей. Вычисления проводим с точностью до третьего знака после запятой. Значения подынтегральной функции:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
- Применяем первую формулу прямоугольников:
- Применяем вторую формулу прямоугольников:
- Применим формулу трапеций:
- Применяем формулу Симпсона:
Теперь определяем абсолютную и относительную погрешности во всех четырех формулах.
Для этого находим точное значение интеграла: .
Погрешности:
- Абсолютная погрешность:
. Относительная погрешность:
.
- Абсолютная погрешность:
. Относительная погрешность:
.
- Абсолютная погрешность:
. Относительная погрешность:
.
- Абсолютная погрешность:
. Относительная погрешность:
.
Как и ожидалось, наибольшая точность получилась в результате применения формулы Симпсона, а формулы прямоугольников дали наихудшую точность.