Признак Раабе и признак Гаусса

Как мы знаем, для положительных рядов кроме признаков сравнения имеются признаки Коши и Даламбера. Эти признаки распознают, по сути, только геометрическую прогрессию, и подобные ей ряды. К более интересным рядам эти признаки неприменимы. В частности, к гармоническому ряду и к обобщенному  гармоническому ряду признаки Коши и Даламбера не применимы. К более тонким признакам относятся признаки Раабе и Гаусса.

Признак Раабе.

Пусть  положительный ряд и . Тогда при   ряд сходится, а при  ряд расходится.

Признак Гаусса.

Пусть  положительный ряд и , где   и  . Тогда 

при  ряд сходится;

при  ряд расходится;

при  и при  ряд сходится, а при  ряд расходится.

Оба этих признака применимы к обобщенным гармоническим рядам, но признак Раабе все-таки не распознает сам гармонический ряд. Иногда, чтобы подчеркнуть связь признаков Гаусса и Даламбера, признак Гаусса формулируют для обратного отношения:

Признак Гаусса. Пусть  положительный ряд и  , где   и  . Тогда ряд сходится, если  и расходится, если .

В этой формулировке рассматривается сразу третий пункт, считая первые два и так очевидны (работает признак Даламбера). 

Пример 1. Применим признак Раабе к обобщенно гармоническому ряду :

.

То есть при  ряд сходится, при  ряд расходится, а вот расходимость гармонического ряда признак Раабе не видит.

Признак Гаусса чуть тоньше. Он применим и к обобщенно гармоническому ряду  для всех значений , в частности для . Действительно: ,

То есть ряд сходится для  и расходится для . Тем самым и для гармонического ряда признак Гаусса срабатывает.

Пример 2. Исследовать ряд  на сходимость. Применим признак Гаусса:

По признаку Гаусса ряд сходится при , то есть при  и расходится при .

Пример 3. Доказать, что ряд  сходится. 

Здесь, значок двойного факториала означает следующее:   и 

Заметим, что признак Даламбера (его рекомендуют применять при наличии факториалов) не применим. Действительно:   

Применим признак Раабе:  

Так как , то по признаку Раабе ряд сходится.