Одно из основных понятий в математическом анализе — понятие производной. Без нее бывает невозможно решить задачи по физике или примеры по математике.
Заметка
Изучение Г. Галилеем закона свободного падения привело к понятию производной.
Определение
Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что аргумент стремится к нулю.
Иными словами, производная — это скорость изменения функции.
Получается, 
Также формула записывается подобным образом:
Формула
Формула
Геометрический смысл производной звучит следующим образом: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью ОХ и касательной к графику функции в этой точке.
Рассмотрим график функции y=f(x):
Точки графика P(x0 + Δx, f (x + Δx)), М(х0,f(x0)) принадлежит секущей MP.
Определение
Касательной к графику y=f(x) в точке x0 называется предельное положение секущей при Δx →0 ( P → M ).
Отсюда следует теорема:
Если функция y=f(x) имеет в точке x0 производную f’(x0), то график функции в точке x0 имеет касательную с угловым коэффициентом f’(x0).
Доказательство этой теоремы:
Угловой коэффициент секущей равен:
Отсюда следуют следующие выводы:
Существует предел положения секущей.
Уравнение касательной к графику функции в точке M (x0, f(x0)):
).png){kind=small}
Физический смысл производной звучит так: скорость прямолинейного движения по времени равна производной пути.
Скорость — это величина, с помощью которой рассчитывается путь, который объект проходит за указанное время.
Средняя скорость за промежуток времени рассчитывается по формуле:
Формула
Чтобы вычислить скорость в моменте t0, необходимо вычислить предел:
Формула
Что такое предел и как его вычислить мы рассказали в этой статье.
Приведем пример, на котором увидим практическое применение производной.
Допустим, объект движется по закону:
s(t) = 4t+5t2
Необходимо найти скорость, зная о том, что время равно 2 с.
Вычисляем производную:
s′(t)=4+10t
Vt=2=s′(t)=4+20=24м/с
Теорема
Дифференцируемая на прямой функция всегда непрерывна на этом интервале.
Заметка
Дифференцировать означает находить производную.
Свойства производной:
Для нахождения производной необходимо составить отношение приращения функции к приращению аргумента, а затем вычислить предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю. Это долгий процесс вычисления, поэтому существует таблица производных функций, которая позволяет упрощать вычислительный процесс:
Кроме того, предлагаем рассмотреть правила вычисления производных сложных функций на примерах ниже.
В математике существует негласное правило — упрощать все, что можно упростить. Поэтому константу необходимо выносить за знак производной.
Пример
y′=(3cos x′)=3*(cos x)′=-3sin x
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. По аналогии, это правило справедливо и для разности двух функций.
Пример
Необходимо найти производную функции:
Решение:
Производная произведений двух функций рассчитывается по формуле:
Формула
(uv)′=u′v+uv′
Пример
Найти производную функции:
Решение:
Формула для определения производной от частного двух функций:
Формула
Пример
Решение:
