Таблица производных. Доказательство формул

Что такое производная и зачем она нужна

Производной называют скорость изменения функции. Любая производная тоже является функцией. Просто первая производит вторую, отсюда и название. Чтобы было понятнее, приведем пример. Представьте, что вы талантливый гитарист и решили заработать денег уличными выступлениями. Спустя час в шапке уже лежал первый рубль, через два часа – 4 рубля, через три -9, а через 4 – 16. В результате мы имеем первоначальное уравнение, показывающее изменение заработка во времени. На часах – x, а в шапке – y. Если начертить график получится парабола y=x².

Если задаться вопросом как увеличивалась ваша популярность, выраженная в часовом заработке, нужно составить еще один график. На нем x будет часами, а y – количеством рублей заработанных за час. Таким образом, мы получим производную первого уравнения. Она покажет скорость, с которой у вас прибавлялись деньги. Видно, что она нарастала. Сначала 1 рубль в час, потом 3, 5, 7 и так далее.

Производную можно применять, например, при расчетах изменения скорости

• движения автомобиля,
• роста населения земли,
• увеличения банковского вклада и т.д.

Таблица и формулы производных

Процесс получения производной из функции называется дифференцированием. Напомним, что в математике существует семь основных видов функции:

1. постоянная,
2. показательная,
3. степенная,
4. гиперболическая,
5. тригонометрическая,
6. логарифмическая,
7. и обратная тригонометрическая.

С помощью таблицы, в которой указаны формулы дифференцирования основных функций, можно вычислить значения их производных. Далее рассмотрим доказательства формул, и приведем примеры их использования.

Производная постоянной

Для начала докажем, что приращение постоянной функции равно нолю. Чтобы получить (С)`=0, за основу необходимо взять определение производной функции в точке. В нашем случае будет x₀=x, где x – любое число диапазона определения f(x)=C. При ∆x→0, отношение приращений функции и аргумента будут выглядеть так:

Выражение 0/∆x попало под знак предела, но неопределенностью типа «ноль делить на ноль» не является. Ведь в числителе у нас именно ноль, а вовсе не число к нему стремящееся. Значит и приращение постоянной функции f(x)=C равно нолю на всем диапазоне определения.

Теперь приведем пример:

Производные во всех случаях будут равняться нолю при любом действительном x.

Производная показательной функции

Если основа – определение производной, то 

В результате появилась неопределенность, для ее решения внесем переменную y=-1 с учетом, что y и ∆x стремятся к нолю. Получаем

Вставляем полученное выражение в изначальный предел 

С помощью второго предела выводится формула показательной производной 

В качестве примера возьмем  и вычислим производную с помощью формулы:

Производная степенной функции

Уравнение в этом случае выглядит так (xⁿ)`=n*x^n-1, где n – любое действительное число. Воспользуемся определением и запишем предел отношения приращений функции к аргументу:

Для дальнейшей работы следует упростить числитель. Воспользуемся биномом Ньютона:

И подставим упрощенный числитель в уравнение:

Таким образом, мы произвели требуемые вычисления для доказательства.

Вычислим для примера (x⁹)`и (x<sup>-2/7</sup>). Для этого берем формулу (x<sup>n</sup>)`= n*x^n-1 и получаем:

Производные гиперболических функций

Давайте для начала вспомним так называемые «шинус» и «чосинус», как иногда именуют гиперболический синус с косинусом. Напомним уравнения:

• Гиперболический синус 
• Гиперболический косинус 

Поделив «шинус» на «чосинус» мы получим гиперболический тангенс, а наоборот – гиперболический котангенс:

Теперь, пользуясь правилом дифференцирования, докажем формулы:

Как видно, ничего сложного тут нет, главное несколько раз сделать это самостоятельно. Для закрепления решим пример и найдем значение sh`1. 

Так как примерное значение экспоненты e≈2,72, то

Производные тригонометрических функций

Чтобы доказать формулу, нужно вспомнить тригонометрию и первый замечательный предел.

1. Исходя из определения, получаем, что 
2. Берем формулу разности синусов 
3. Обратившись к первому замечательному пределу, выходит (sin x)`=cos x.

Попробуйте, для большего понимания, самостоятельно доказать формулы для косинуса и тангенса с котангенсом (помня, что они есть отношения синуса к косинусу и наоборот) пользуясь принципами доказательства для синуса.

Для примера найдем производную функции от sin(2x-1).

• Обозначим синус как f(g), а два икс минус один как g(x).
• Вспомним формулу f`(g)=f`*g`.
• Применив ее, получим (sin(2x-1))`=sin`(2x-1)*(2x-1)`
• В итоге cos(2x-1)*2=2cos(2x-1).

Производная логарифмической функции 

Доказать формулу для всех x из области определения и всех допустимых значениях a (основание логарифма) можно с помощью определения:

Все преобразования в ходе доказательства происходили с помощью свойств логарифмов. Исходя из второго замечательного предела, это равенство является справедливым 

Найдем производную десятичного логарифма (log(x2-2x))`. 

• Для этого воспользуемся формулой 
• Рассматривая (x²-2x) в качестве некой переменной получим выражение сложной производной 

• Теперь найдем (x²-2x)`= 2x-2.
• И запишем получившееся выражение в числитель 
• Тогда 

Производные обратных тригонометрических функций 

Докажем справедливость тождеств на примере арксинуса. Если взять y=arcsin x, то обратным уравнением будет x=sin y. Тогда получится, что 

Теперь наступает очередь провести соответствующие преобразования,

а значит, область определения находится в интервале от -1 до 1.

Подобные вычисления применяются для того, чтобы определить арккосинус. Чтобы доказать справедливость тождеств для арктангенса и арккотангенса, необходимо помнить, что собой представляют обычный тангенс с котангенсом – отношения синуса к косинусу и наоборот. 

Примеров приводить не станем, потому что все вычисления схожи с обычными тригонометрическими, затем нужно лишь преобразовать их обратные.

Как видно из материалов статьи, пользоваться таблицей намного проще, чем учить наизусть большое число уравнений. Но на экзаменах или во время выполнения контрольных работ, будет лучше все-таки выучить их. Потому что сторонние источники информации будут под запретом. Если подготовиться заранее, решив по нескольку задач в каждом из рассмотренных в статье разделов, необходимые знания обязательно отложатся в памяти.