В этой статье мы рассмотрим таблицу производных функций, которая является важным инструментом в дифференциальном исчислении. Мы начнем с представления таблицы основных производных функций, а затем разберем доказательства и решения примеров для некоторых из них, включая производную константы, степенной функции, экспоненциальной функции и логарифмической функции.
В дифференциальном исчислении одним из основных инструментов является нахождение производной функции, которая показывает скорость изменения функции в каждой точке. Для удобства существует таблица наиболее распространенных производных, которая помогает быстро находить производные различных функций.
Давайте разберемся, почему производная константы равна нулю. Представьте, что у вас есть функция f(x), которая всегда выдает одно и то же число, скажем, c = 5 . Какова скорость изменения функции f(x), если она всегда возвращает одно и то же значение? Правильно, она не меняется, то есть ее скорость изменения равна нулю. Мы можем формализовать это, используя определение производной.
Пусть f(x)=c, где c - константа. Тогда производная функции по определению равна нулю:
Пример Предположим, у нас есть функция f(x) = 5, которая всегда равна пяти. Как изменяется эта функция, когда мы изменяем x? Никак, верно? Таким образом, производная этой константной функции будет равна нулю: f'(x) = 0
Теперь рассмотрим производную степенной функции f(x) = xn, где n — натуральное число. Чтобы понять, почему производная имеет такой вид, давайте вспомним, что степенная функция — это просто число, возведенное в какую-то степень n. При дифференцировании мы просто уменьшаем степень и умножаем на степень исходного числа, так как каждая степень функции уменьшается на единицу.
Пример Допустим, у нас есть функция f(x) = x3. Мы хотим узнать, как изменится f(x), если мы немного изменим x. Для этого мы можем использовать производную. Производная от f(x) будет равна 3x2, что означает, что скорость изменения функции f(x) в каждой точке равна 3x2. Таким образом, если мы возьмем какую-то точку x, скажем, x = 2, и подставим ее в производную, мы получим 3 × 22 = 12. Это и будет скорость изменения функции в этой точке.
Производная экспоненциальной функции
Теперь давайте рассмотрим производную экспоненциальной функции f(x) = ex. Вспомним, что экспоненциальная функция ex имеет особенное свойство: ее производная равна самой функции. Это происходит потому, что у экспоненты основание e является числом Эйлера, и его производная также равна ex.
Пример Предположим, у нас есть функция f(x) = e2x. Что будет, если мы попытаемся найти ее производную? Правильно, она также будет равна самой функции: f'(x) = 2e2x . Это означает, что скорость изменения функции f(x) в каждой точке будет увеличиваться пропорционально самой функции.
И, наконец, давайте посмотрим на производную логарифмической функции f(x) = ln(x) . Логарифмическая функция ln(x) обращает число x в степень, в которую нужно возвести основание e, чтобы получить x. Поэтому производная этой функции равна обратной величине x, то есть 1/x.
Пример Допустим, у нас есть функция f(x) = ln(2x) . Как изменится f(x), если мы немного изменим x? Мы можем использовать производную, чтобы найти ответ. Производная f(x) будет равна 1/2x, что означает, что скорость изменения функции f(x) будет обратно пропорциональна удвоенному значению x.
