При сложных расчетах стандартом в современном мире является использование калькулятора, однако лет 20 назад вычислительная техника не была распространена, поэтому помогали специальные списки с готовыми расчетами.
В эпоху развития цифровых технологий зачем, казалось бы, нужны готовые показатели, их с легкостью можно рассчитать на компьютере или калькуляторе. Однако вычислительная техника может подводить, на экзамен преподаватель может запретить брать инженерные калькуляторы, тогда спасают готовые расчеты.
sin, cos, tg, ctg – основные тригонометрические функции. В геометрии их величины находят как соотношение сторон прямого треугольника.
Важно! Cинус и косинус могут принимать величины в пределах: 1 – 1. Тангенс и котангенс могут принимать абсолютно любые значения.
На основании определений рассчитываются величины тригонометрических функций. Вычисленные sin, cos, tg, ctg удобно использовать при решении задач даже в эпоху развития цифровых технологий. Процесс ускоряется.
Показатели для 0◦, 30◦, 45◦, 60◦, 90◦ необходимо запомнить, поскольку они чаще всего встречаются при решении тригонометрических задач.
Важное свойство тригонометрических функций – это периодичность. В математике выделяют понятие «угол поворота». Он может равняться абсолютно любой величине. Если угол выходит за пределы 90◦, то в таком случае необходимо использовать формулы приведения. Они позволяют расширить списки готовых расчетов с sin, cos, tg, ctg. Ниже можно посмотреть формулы приведения.
В формулах приведения используются мера измерений: радиана.
Радиана – величина, которая используется для измерения путем деления длины дуги на длину радиуса окружности.
Связь между градусами и радианами выражается:
Исходя из этого, формула перевода градусов в радианы выглядит следующим образом:
.jpg)
Пример №1
Основные значения для 30◦, 45◦, 60◦, 90◦, 180◦, 360◦ рекомендуется запомнить.
Использование формул приведения позволяет заполнить списки дополнительными значениями тригонометрических функций. Ниже представлена расширенная форма со значениями.
Периодичность синуса, косинуса, тангенса, котангенса позволяет ее расширять до любых значений. Значения, рассчитанные выше, рекомендуется запомнить, поскольку они используются часто.
Заметка №1
Впервые тригонометрические функции применялись астрономами, в дальнейшем научный раздел находит свое применение в строительстве.
Первые таблицы хорд тригонометрических функций были составлены в Древней Греции астрономом-математиком Гиппархом из Никеи еще во втором веке до нашей эры. Начало учению о тригонометрических величинах положили индийские ученые. Уже в четвертом и пятом веках в их сочинениях встречаются понятия синус и косинус. Тригонометрические показатели: тангенс и котангенс были введены в странах ислама в девятом, десятом веках.
Инструмент содержит вычисленные величины тригонометрических функций от 0◦ - 360◦(в переводе на радианы). Она помогает ускорить процесс решения математических задач, спасает, когда рядом нет компьютера или инженерного калькулятора.
Пользоваться ею легко: переводим градусную меру в радианы и находим под нужным нам числом подходящее значение.
Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Сos является производной от синуса. Активно используемые показатели сведены в списки с готовыми расчетами, которые спасают, когда рядом нет калькулятора:
Готовые показатели тангенсов тригонометрических функций от 0◦ - 360◦ - отличный инструмент, позволяющий решить математическую задачу в короткие сроки, даже если рядом нет инженерного калькулятора.
Готовые показатели ctg представляют из себя схему с вычисленными значениями котангенсов от 0◦ - 360◦. Используя инструмент, можно достаточно быстро решить математическую задачу, даже если рядом нет инженерного калькулятора, компьютера.
Нужная величина находится на пересечении строки с нужной тригонометрической функцией, столбца с необходимой градусной мерой.
Расширенная схема используется аналогично.
Пример №2 Допустим, нам необходимо узнать синус
Если у вас под рукой есть значения углов в радианах, то все просто: нужно найти нужный столбец и строку и на пересечении будет располагаться необходимое значение. Если таких готовых величин рядом нет, то:
1 шаг. Переводим
2 шаг. Далее в таблице находим нужную строчку и столбец. На пересечении располагается необходимая цифра. Равняется она «1».
Таблицы Брадиса получили свое название выпущенной брошюры «Четырехзначные математические таблицы», разработанные советским математиком-педагогом Владимиром Брадисом. Впервые математическое пособие было опубликовано в 1921 году. Математик до минимума сократил расчеты, которые приходилось производить до появления калькуляторов. Были выбраны наиболее часто используемые функции и просчитаны значения с точностью до четырех знаков после запятой. Часть рутинной работы выполняли студенты математика.
Заметка №2 Владимир Модестович Брадис (1890 - 1975) - советский математик-педагог, с 1954 года член-корреспондент АПН СССР.
В математическом пособии Владимира Брадиса содержится более 20 списков с рассчитанными величинами. Они помогают найти: квадратные корни, площади круга определенного диаметра, радианную меру, мантиссы десятичных логарифмов, номограммы для решения отдельных уравнений. Книга в советское время была бестселлером, переиздавалась несколько раз большими тиражами (до 500 000 экземпляров). Пособие активно использовалось в процессе обучения школьников, студентов – на занятиях по алгебре, геометрии, физике.
Математические задачи чаще всего требуют расчеты синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, поэтому эта таблица Брадиса наиболее распространена. В нее собраны sin, cos, tg, ctg углов, представленных целым числом градусов и минут. Этот инструмент заменяет инженерный калькулятор, вычисляет значения до 4-х знаков после запятой.
Таблица Брадиса для синуса, косинуса – инструмент, который позволяет найти приближенные показатели тригонометрических функций синуса и для углов с целым количеством градусов и минут.
Для величин, которых нет в списках, нужно использовать поправки, которые находятся в дополнительных столбцах справа.
Углы для определения величин тангенсов располагаются в крайнем левом столбце, а минуты – на верхней строчке. Углы при поиске ctg располагаются в столбце справа перед поправками. Матрица tg и ctg состоит из 2-х частей. Первая часть начинает свой отсчет от 0◦ до 75◦, а ctg – от 14◦- 90◦. Вторая часть включает в себя величины tg от 76◦ до 90◦, а ctg – от 0◦ - 14◦.
Совет №1 Разделение обусловлено тем, что котангенсам острых углов и тангенсам близким к 90◦ проблематично использовать общие поправки, значения там даются индивидуально для каждого числа.
Тангенсы от 76◦ - 90◦, котангенсы от 0◦ - 14◦
Заметка №3 Показатели тангенса, котангенса можно узнать, воспользовавшись формулами:
Пример №3
tg 15◦=0,2588:0,9659=0,2679
ctg 33◦=0,8387: 0,5446 = 1,54
Данные математических задач нередко содержат в условиях углы, которые выражаются градусами, минутами. sin, cos, tg, ctg в таком случае необходимо искать в таблице Брадиса.
Допустим, что нам нужен sin 45◦ 12´. Списки содержат синусы слева. Выбираем строчку с нужным углом, столбец с необходимыми минутами (на верхней строчке). На пересечении располагается нужное нам число. Оно равняется 0,7096. Аналогично можно найти сos (минуты на нижней строчке, углы в столбце справа), котангенсы (минуты на нижней строчке, углы в столбце справа) , тангенсы (минуты на верхней строчке, углы в столбце слева).
Величины углов кратны 6 мин (0´, 6´, 12´, 18´, 24´ и т.д.). Если нужного синуса, косинуса, тангенса, котангенса нет в списках, то необходимо к наиболее близкому к нему значению прибавить или отнять соответствующую разницу в 1,2 или 3 минуты. Поправки указаны в последних трех столбцах. При вычислениях их необходимо делить на 10 000.
Рассмотрим примеры расчета поправок у синусов. Углы для определения показателей располагаются в крайнем левом столбце списка, а минуты на верхней строчке. Нужный показатель располагается на пересечении строки и столбца градуса угла, минут. Поправки рассчитываются следующим образом:
sin 3◦ 14´ = sin 3◦ 12´ + поправка 2´= 0,0558+0,0006= 0,0564
sin 45◦ 11´ = sin 45◦ 12´ - поправка 1´= 0,7096-0,0002=0,7094
Углы для определения сos в списках располагаются в столбце перед поправками, при этом нужно смотреть минуты, расположенные на нижней строчке.
Важно! У синуса поправки с положительным знаком, а косинуса с отрицательным.
Примеры расчетов поправок у cos:
cos 85◦ 43´ = сos 85 42´ + (-поправка 1´)=0,0819+(-0,0003)=0,0816
cos 88◦ 52´ = cos 88 54´ – (-поправка 2´)= 0,0332 – (-0,0006)=0,0338
Вычисления величин для tg, ctg выполняются аналогично, однако важно помнить о законе поправок. Только у cos поправка всегда со знаком минус.
А если градусная мера больше 90◦? Необходимо воспользоваться формулами приведения.
Пример №4
Нужно найти синус 140◦. Формула приведения, которую можно будет использовать:
Sin (90◦+a)=cos a
Подставляем числа:
Sin (90◦+50◦)=cos 50◦=0,6428
Сos найдем :
Сos (90◦+a)=-cos a
Решаем:
Сos (90◦+50◦)=-cos 50◦= - 0,7660
Практические математические задачи:
1. 12-метровая лестница опирается на здание таким образом, что наклон равен 45◦. Вопрос: какое расстояние от земли до ее вершины?
Решается задача следующим образом:
Представим прямой треугольник DSA. DAS по условиям 45 ◦. Мы знаем из теории геометрии, что:
Sin DAS=DS/AD
DS – высота лестницы. Ее нам и нужно найти. Получаем формулу:
DS=AD*sin DAS
Итак:
DS=12*0,7071= 8,49 м.
Таблицы Брадиса позволяют узнать значения функций до четырех знаков после запятой. Такая точность подходит для 90% инженерных расчетов. В современном мире всю информацию можно найти в интернете, но в прошлом, пособия математика облегчали работу в расчетах. Сегодня бумажными вариантами обучающиеся пользуются на экзаменах, контрольных, когда запрещено пользоваться калькулятором.
