Чтобы построить график функции 
(и не только для этого) нужно определить разрывы функции и выяснить их характер. Прежде всего, дадим определение непрерывной функции и точек разрыва.
Пусть функция 
задана в некоторой окрестности точки 
, то есть для всех 
, где 
некоторое число. Тогда функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен 
.
Точки в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.
Характеристика точек разрыва следующая. Если предел функции в точке существует, но по какой то причине не равен значению функции в точке (например, в точке функция не определена), то называется точкой устранимого разрыва.
Если предел функции в точке слева конечный, и не равен пределу функции в точке справа (тоже конечному), то точка называется точкой разрыва 
-го рода.
Все остальные точки разрыва являются точками разрыва 
-го рода.
Пример 1 Исследовать функцию на непрерывность
.
Функция является рациональной, то есть элементарной, с областью определения
. Согласно теореме о непрерывности элементарной функции на области своего определения мы видим, что функция непрерывна для всех
. В точке
функция не определена и поэтому разрывна. Найдем предел функции в этой точке.
. Таким образом, предел в точке
Пример 2 Найти точки разрыва функции и определить их характер:
.
Функция определена во всех точках действительной оси кроме точек
.
Следовательно, в этих точках функция имеет разрывы. Найдем Характер разрывов.
В точке
имеем
. Это замечательный предел. Таким образом, точка
, являются точками разрыва второго рода, так как односторонние пределы в этих точках равны
.
Пример 3 Найти точки разрыва функции и определить их характер:
.
Функция определена всюду, кроме точек
. Так как функция четная, то характер разрыва в точках
. Находим односторонние пределы в этой точке.
,
.
Таким образом, точки
