Тригонометрическая форма комплексного числа

Что такое комплексные числа? В свое время возникла потребность ввести комплексные числа. Дело было не только в том, чтобы все многочлены имели корни. Комплексный анализ помогает в различных гидродинамических расчетах и в электричестве. Да и в действительном анализе нахождение некоторых определенных интегралов было бы весьма затруднительно без комплексного анализа.

Комплексные числа это числа вида , где   — действительные, а  — мнимая единица. Их для наглядности изображают на комплексной плоскости в виде точки или ее радиус вектора: 

На оси  откладываем  , а по оси (там в качестве единичного вектора берется мнимая единица ) откладываем  .

В некоторых случаях лучше использовать тригонометрическую форму записи комплексных чисел.

Как видно из рисунка, модуль комплексного числа равен: ,угол наклона вектора к положительной полуоси обозначим . Тогда

Есть тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Пример 1 Записать число   в тригонометрической форме. Кстати на рисунке изображено именно это число.

Имеем  ;  . В результате получаем тригонометрическую форму записи:   где    .

Пример 2 Найти тригонометрическую форму записи числа  .

Имеем  ; . Таким образом:

 .

Комплексные числа удобно перемножать в тригонометрической форме. Легко вывести следующую формулу:   .

Эту формулу можно прочитать так: при перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Для комплексного числа в тригонометрической форме имеется очень удобная формула для возведения в степень: 

Пример 3 Найти комплексное число . Воспользуемся результатом примера 2.