Уравнения, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения можно понизить. 

Пусть исходное уравнение имеет вид:  . В этом случае порядок уравнения можно понизить, сделав замену . Уравнение станет меньшего порядка:  . Приведем пример.

Пример 1 Решить уравнение предварительно понизив его порядок: .

Уравнение не содержит функцию  явно. Можно понизить порядок заменой . Решаем полученное уравнение, разделяя переменные и интегрируя:

.

Иногда удается упростить само уравнение, а затем понизив порядок, выделяя группы членов являющиеся полными производными. 

Пример 2 Решить уравнение .

Здесь имеем: . Таким образом, интегрируя обе части, находим: 

 или  .

Решаем это линейное уравнение. Однородное уравнение имеет общее решение:

, которое можно записать в виде .

Общее решение ищем методом вариации постоянной . Подставляя в неоднородное уравнение и полагая  ,находим:

.

Следовательно, общий интеграл исходного уравнения

  .

Здесь общий интеграл выражен через неопределенный интеграл, так как этот неопределенный интеграл не берется в конечном виде.

Пусть дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную:. Тогда его порядок можно понизить заменой: .

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение:  

Уравнение не содержит явно независимую переменную, делаем замену  . При этом,  . В результате получаем уравнение:

.

Одно решение . Второе решение получаем, интегрируя уравнение:

.

Освобождаясь от логарифмов, получим .

Вспоминая, что такое , получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Итак, общее решение: .