Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными это уравнения вида:
или, что то же самое. Эти уравнения имеют такое название, потому что для их решения нужно лишь .png){kind=small}
разделить переменные, а затем проинтегрировать обе части. В результате получится общее решение, правда обычно в неявном виде. При этом можно не заморачиваться и не выражать функцию .png){kind=small}
явно. Неявное выражение называют общим интегралом дифференциального уравнения.
.png)
Следует также помнить, что при делении на .png){kind=small}
могут быть утеряны решения. Их нужно проверить.
Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Разделяем переменные и интегрируем
.
При делении на 
мы потеряли решение 
.
Итак, получили следующее общее решение: 
.
Пример 2 Решить дифференциальное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
.
При делении на 
мы потеряли два решения 
и 
. (легко убедиться, что это решения).
Таким образом, получили следующее общее решение 
.
Отметим, что к уравнениям с разделяющимися переменными стараются свести большинство дифференциальных уравнений первого порядка.
Например, уравнения вида 
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой 
или 
, Где 
— любая константа.
Пример 3 Решить дифференциальное уравнение:
Сделаем замену: 
. Тогда 
. Подставляем в уравнение:
.
Рассмотрим первый интеграл 
.
Выражая 
через исходные переменные, получим окончательно общее решение:
.
