Вычисление объема пирамиды — расчет по формуле на онлайн-калькуляторе

Типы пирамид

Понятие пирамиды как геометрической фигуры известно с древних времен. Она использовалась в архитектуре древних цивилизаций, таких как египетская, месопотамская и другие. Таким образом, нельзя однозначно указать на конкретного человека или группу ученых, которые ввели понятие пирамиды в науку, поскольку ее использование и изучение происходило в течение многих тысячелетий и было распространено в различных культурах.

Определение  Пирамида — это геометрическая фигура, основой которой является многоугольник, а сторонами — треугольники с общей вершиной.

У пирамиды присутствуют ребра, направленные к ее вершине. Основание пирамиды может быть любым многоугольником. Грань образуется путем соединения двух соседних ребер основания. В случае пирамиды гранью является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высота пирамиды определяется как длина перпендикуляра, проведенного из вершины к центру основания.

Существует три типа пирамид:

1. Прямоугольная.
   Это пирамида, у которой ребро с основанием образуют угол, равный 90°.
   
2. Правильная.
   Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр его основания.
   
   
3. Тетраэдр.
   Это пирамида, состоящая из четырех треугольников, один из которых служит основанием, а оставшиеся три — сторонами.
   

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды можно рассчитать по разным формулам. Метод расчета варьируется в зависимости от того, какая фигура служит основанием пирамиды или какие данные известны в задаче.

По площади основания и высоте пирамиды

Формула:

Объем пирамиды (V) равен одной трети произведения площади (S) на ее высоту (h).

Пример:

Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна 12. Высота боковой грани (апофема) — 10. Вычислите объем пирамиды.

Решение:

Пусть SABCD — правильная пирамида. ABCD — основание, SO — высота, SH — высота боковой грани.

Длина отрезка OH есть половина длины стороны квадрата основания, то есть OH = 6.

По теореме Пифагора можем вычислить длину катета SO в треугольнике SOH. SO = 8.

Далее вычисляем объем пирамиды по формуле:

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Определение Если в основании пирамиды расположен треугольник, а вершина направлена в центр основания, такая фигура называется правильной треугольной пирамидой.

Формула:

, где V — объем, h — высота, a — сторона основания пирамиды.

Пример:

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота —  

Решение:

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Определение Правильная четырехугольная пирамида представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех треугольных граней, одного квадрата и пяти вершин. 

Основное свойство этой пирамиды заключается в том, что четыре боковые грани и боковые ребра равны между собой.

Основные характеристики и свойства такой пирамиды:

1. Общее количество ребер — восемь.
2. Все четыре боковые грани являются равносторонними треугольниками, что подразумевает равенство всех их сторон и углов.
3. Все боковые ребра пирамиды равны.
4. Высота пирамиды определяется как вертикальная линия, проведенная от вершины к основанию.

Формула:

, где a — сторона основания, h — высота.

Пример:

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Ее боковое ребро SA равно 39, а сторона основания —   вычислите объем пирамиды SABCD.

Решение:

где 

а 

Получается, 

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Определение Шестиугольная пирамида — это геометрическая фигура, у которой все ребра равны, и в основании располагается правильный шестиугольник.

Формула: 

, где где a — сторона основания, h — высота.

Пример:

Треугольная пирамида SABC является частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Объем SABC равен 8. Вычислите объем SABCDEF.

Решение:

Пирамиды SABC и SABCDEF имеют одинаковую высоту.

Площадь ABCDEF со стороной a будет вычисляться так: 

Площадь ABC: 

Получается, 

Объем тетраэдра через ребро

Формула:

, где a — длина ребра тетраэдра.

Пример:

Вычислите объем тетраэдра, если его сторона равна 11.

Решение:

а = 11

Формула объема пирамиды через определитель

Вероятно, это один из самых необычных способов расчета объема пирамиды. Он заключается в использовании векторов, которые образуют стороны фигуры.

Объем пирамиды будет равен одной шестой от смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение, в свою очередь, равно определителю, составленному из координат этих векторов.

Таким образом, если пирамида построена на трех векторах:

, то объем пирамиды является определителем:.

Пример:

Вычислите объем пирамиды через смешанное произведение векторов с координатами: a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), с = (3, 5, 7).

Решение:

Объем не может быть отрицательным, поэтому берем модуль полученного числа.

V = 0,7.

Пирамиды часто используются в геометрических расчетах, архитектуре, инженерии, а также в решении математических задач. Их свойства и характеристики, такие как объем, высота, площадь поверхности, могут быть рассчитаны с использованием соответствующих формул.

Помимо этого, пирамиды имеют важное значение в различных областях науки и техники. В астрономии, например, пирамиды могут использоваться для моделирования спутников или форм горных вершин на других планетах. В сфере компьютерной графики пирамиды используются при построении трехмерных моделей. В химии пирамиды необходимы для анализа молекулярных структур и кристаллических решеток.

Таким образом, пирамиды — это важным инструментом в различных областях знаний, где требуется анализ трехмерных форм и их характеристик для решения различных задач.