Вообще-то площади пространственных тел находятся при помощи двукратных интегралов. Но, для поверхностей, образованных вращением гладкой кривой вокруг некоторой оси, площадь определяется через определенный интеграл. В частности:
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой 
вокруг оси 
где 
меняется на отрезке 
находится по формуле:
.png)
.
Более общая формула: пусть пространственная кривая 
задана параметрически:
. Предполагается, что функции непрерывно дифференцируемы. Пусть нам нужно найти площадь поверхности фигуры получаемой вращением данной кривой вокруг некоторой оси. Тогда искомую площадь можно найти по формуле:
,
где 
- расстояние от точки кривой до оси вращения, а 
- дифференциал дуги .
Приведем примеры.
Пример 1 Найти площадь поверхности вращения кривой
вокруг оси
Здесь применяем первую формулу. У нас
на
. Дифференциал дуги:
, так что получаем:
.
Пример 2 Найти площадь поверхности вращения одной арки циклоиды
вокруг осей
.
- Сначала находим площадь фигуры вращения вокруг оси
, а дифференциал дуги:
.Находим площадь:
.png)
.
- Теперь найдем площадь фигуры вращения вокруг оси
при
. Находим площадь:
.
Пример 3 Найти площадь поверхности полученной вращением кардиоиды
относительно левой вертикальной касательной к этой кривой.
Найдем уравнение этой вертикальной касательной. Запишем уравнение кардиоиды в параметрическом виде, взяв в качестве параметра
. Имеем:
.
Для вертикальной касательной должно выполняться условие:
. Найдем значения параметра
при
, а так же при
(точка
на рисунке) и
(точка
на рисунке). Для обеих точек
. Находим дифференциал дуги кардиоиды:
Расстояние от произвольной точки кардиоиды
до прямой
.
Теперь найдем площадь поверхности:
Здесь промежуток такой, что модуль раскрывается со знаком
при
и со знаком
если
. Из рисунка видно, что мы можем рассмотреть интеграл при
.
.png)
