Вычисление тангенса

Тангенс – понятие, не связанное с единицами измерения. В школе с ним знакомятся на теме прямоугольных треугольников. Так же как с другими тригонометрическими понятиями – синусом/косинусом, котангенсом. Каждое такое понятие соответствует определённому отношению сторон: катетов – друг к другу или к гипотенузе.

Определение тангенса угла

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла

Данное определение принадлежит tg острого угла. В углу А рис. 1 построен прямоугольный треугольник АВС.

По данному определению можно написать формулу tg угла А:

Формула №1

Дальше мы выведем формулу tg через отношение, гораздо чаще используемое в тригонометрии и математике, – через отношение других тригонометрических понятий.

Клеточки позволяют измерить стороны прямоугольного треугольника АВС, построенного в угле А. И тогда мы можем записать не только формулу, но и значение:

Если мы дадим определения синуса и косинуса (соответственно: отношение противолежащего катета к гипотенузе и прилежащего катета к ней же), то сможем выразить тангенс через эти понятия:

Отсюда:

А значит:

Определение №2

Тангенс – это отношение синуса к косинусу

Вычисление тангенса числа или любого угла

В определении 2 нет конкретной привязки к углу (от 0 до 360о) или числу. И справедлива формула:

Где t – некий параметр, называемый аргументом. Возможные значения аргумента tg:

1. Любое число: 0, 2, -7…
2. Выражение с Пи:  и т.д.
3. Угол в градусном выражении: 30о, 180о, -500о… 

Замечание: выражение справа от знака = в формуле 2 – это значение тангенса. Оно всегда число действительное: 

Как найти, например, tg 0? Для этого рассмотрим числовую окружность.

Числовая окружность

Её радиус = 1, точки на ней отвечают правилам:

• крайняя правая т. 0 – начало отсчёта;
• положительным считается движение, обратное ходу часовой стрелки, отрицательным – движение, противоположное положительному;
• точка на окружности отложенная на расстояние t в положительном направлении будет иметь значение +t, в отрицательном – значение –t.

Для каждого числа на таком круге есть своя точка. С помощью такой окружности находят значения не только тангенсов-котангенсов, но и синусов с косинусами.

Внимание: 1 по числовой оси ох (чёрным цветом на рисунке) и 1 на числовой окружности (красным цветом на рисунке) – точки на разных объектах (на оси и на окружности).

На числовой окружности удобнее пользоваться не целыми числами, а дробными числами с π: 

Двигаться против часовой стрелки (или по часовой) можно n кругов, и каждая точка на круге повторится n раз. Это приводит к главному свойству числовой окружности: 

Каждому числу на ней соответствует одна точка, но одной точке tо соответствует много чисел tо + 2πn, n ∈ Z

Знаки по четвертям

Координатные оси разбивают круг на 4 четверти, пронумерованные против часовой стрелки (с ростом угла).

Важность определения знаков по четвертям определяется тем, что разные тригонометрические функции имеют разное распределение знаков по четвертям. Знаки распределены следующим образом:

Видно, что tg положителен в 1 и 3 четвертях, а отрицателен – во 2-й и 4-й. Более адекватным для tg будет такое расположение координатных осей:

Формулы, объединяющие тригонометрические функции

Такими для угла х являются:

Пример 1. Найти:

Достаточно найти tg в 0 и в π/2, для это воспользуемся тригонометрическим кругом:

Видно, что для косинуса т. 0 на числовой окружности совпадает с т.1 оси cos, а т.1 оси sin совпадает с т. π/2 на числовой окружности. Поэтому:

Перпендикуляр из т.0 на числовой окружности, опущенный к оси sin, попадает в т.0. Перпендикуляр из т. π/2 на числовой окружности к оси cos, попадёт в ту же точку 0. То есть:

Имеем:

Ответ: 0 и ᴓ.

Часто бывает удобно пользоваться осью тангенсов (аналог оси синусов, но проходит через 0 на круге) – в дополнение к тригонометрическому кругу:

Пример 2. Найти tg π/4

Выделяем π/4 на границе круга и соединяем её с началом координат прямой, которая приходит в точку 1 оси tg:  

Ответ: 1

Пример 3. Найти tg угла в прямоугольном треугольнике, если квадрат косинуса этого угла равен 0,5.

Поскольку известно, что (cos х)2 = 0,25, то можно воспользоваться формулой:

Ответ: √3