Конечные поля и их применения в теории кодирования

Актуальность работы. В настоящее время теория кодирования имеет важное широкое практическое применение как средство экономной, удобной, быстрой, а также надежной передачи сообщений по линиям связи с различного вида шумами (телефон, телеграф, радио, телевидение, компьютерная, космическая связи и т. д.). Значительная часть математики основана на понятии множества. Хотя мы предполагаем знакомство читателя с этим понятием, в данном разделе напомним те сведения о множествах, которые будут использоваться в дальнейшем. Неформально, множество - это совокупность элементов, не имеющая никакой структуры. Элементы могут быть произвольной природы, в том числе элементы множества сами по себе могут быть множествами. Понятие линейного кода - одно из первичных, базовых понятий теории и практики помехоустойчивого кодирования.

---

С сервисом Work5 написание докторской диссертации в Краснодаре станет проще.

---

. Сформировалось в теории информации к середине ХХ века. Аккумулирует в себе достаточно широкую научно-философскую концепцию. Предполагается, что исходная информация записывается в виде блоков - конечных последовательностей фиксированной длины k символов из данного поля P . Способ кодирования (форма представления) информации зависит от цели, ради которой осуществляется кодирование. Такими целями могут быть сокращение записи, засекречивание (шифровка) информации, удобство обработки и т. п. Чаще всего применяют следующие способы кодирования информации: 1) графический - с помощью рисунков или значков; 2) числовой - с помощью чисел; 3) символьный с помощью символов того же алфавита, что и исходный текст. Переход от одной формы представления информации к другой, более удобной для хранения, передачи или обработки, также называют кодированием. Действия по восстановлению первоначальной формы представления информации принято называть декодированием. Для декодирования надо знать код. Цель работы – исследовать конечные поля и их применения в теории кодирования. Задачи: - рассмотреть основные понятия теории кодирования; - описать особенности конечного поля; - показать умножение и деление элементов конечных полей; - описать недвоичное кодирование с повторением и накоплением и пространственно-временного кодирования конечного поля. Объект исследования – теории кодирования. Предмет исследования – конечные поля. Методы исследования – анализ, обобщение полученной информации. Структура работы состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

В результате проделанной работы решены следующие задачи: рассмотрены основные понятия теории кодирования; описаны особенности конечного поля; показано умножение и деление элементов конечных полей; описано недвоичное кодирование с повторением и накоплением и пространственно-временного кодирования конечного поля. Теория сложности вычислений является разделом теории вычислений, изучающим сложность(стоимость) работы, требуемой для решения вычислительной проблемы. Сложность обычно измеряется абстрактными понятиями времени и пространства, называемыми вычислительными ресурсами. Время определяется количеством тривиальных шагов, необходимых для решения проблемы, тогда как пространство определяется объёмом памяти или места на носителе данных или количеством процессоров для обработки данных. Основными задачами теории сложности алгоритмов являются следующие: обеспечить методику количественной оценки сложности проблемы в абсолютных терминах. Дать метод сравнения сложности двух различных проблем. Дать строгое определение эффективного алгоритма. Некоторые представления задачи могут иметь существенно меньшую длину. В алгоритмической теории информации определяется колмогоровская сложность объекта как мера вычислительных ресурсов, необходимых для точного определения этого объекта. Некоторые ресурсы по этой мере могут иметь существенно меньшую длину представления. Следует отметить, однако, представляя данные в сокращенной форме, можно получить дополнительные издержки при выполнении алгоритма. Пространственная сложность оценивает количество памяти, требуемой для выполнения вычисления. Эти две меры тесно связаны. Обычно, алгоритмы, требующие много времени вычисления, потребляют много памяти, но бывают и исключения. Некоторые алгоритмы - требовательны к памяти, и при нехватке памяти работают значительно медленнее. Поле Галуа одновременно обладает свойствами циклической группы, линейного пространства и алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. С одной стороны, все ненулевые элементы поля можно представить как степени одного единственного. С другой стороны, операция сложения полиномов эквивалентна сложению векторов, составленных из их коэффициентов. Заметим, что в линейном пространстве не вводится аналога умножения векторов - такого, чтобы при умножении двух векторов получался снова вектор. С третьей стороны, все элементы поля разбиваются на подмножества, каждому из которых соответствует неприводимое алгебраическое уравнение - говорят, что элементы поля являются корнями неприводимых над GF(2) полиномов.

1. Дмитриев М.Н. Обобщенный закон Дарси и структура фазовых и относительных фазовых проницаемостей для двухфазной фильтрации в анизотропных пористых средах. // Изв.РАН. Механика жидкости и газа. – 2003. № 2. – С. 136-145. 2. Совершенствование систем разработки месторождений на основе комплексного анализа информации о малоамплитудных тектонических нарушениях / О. Н. Пичугин [и др.] // Нефтепромысловое дело. – 2015. – № 11. – С. 5–15. 3. Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - №14. - С. 7-18. 4. Сагадеева, M.A. Существование инвариантных подпространств и экспоненциальных дихотомий решений динамических уравнений соболевского типа в квазибанаховых пространствах / М.А. Сагадеева, Ф.Д. Хасан // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2015. - Т. 7, № 4. - С. 50-57. 5. Хасан, Ф.Л. Относительно спектральная теорема в квазибанаховых пространствах / Ф.Л. Хасан // Воронежская зимняя математическая школа: тр. конф. - Воронеж: изд-во ВРУ, 2014. - С. 393-396. 6. Хасанов М. М., Булгакова Г. Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. – Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2018. – 288 с. 7. Koch J., Ratz A., Schweizer B. Two-phase flow equations with a dynamic capillary pressure // Eur. J. Appl. Math. 2013. V. 24, I. 1. P. 49-75. 8. Kondaurov V.I. A non-equilibrium model of a porous medium saturated with immiscible fluids // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2019. V. 73, I. 1. P. 88-102. 9. Konyukhov A., Pankratov L. New non-equilibrium matrix imbibition equation for double porosity model // Comptes Rendus Mecanique. 2016. V. 344, I. 7. P. 510-520. 10. Yeh L.M. Homogenization of two-phase flow in fractured media // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 2016. V. 16, I. 10. P. 1627-1651.