Ряды Фурье и их применение к решению задач

Ряды Фурье – способ представления функции в виде суммы тригонометрических функций. Ряды Фурье используются при решении некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравнений математической физики. Изучение рядов Фурье представляет актуальность, так как они используются во многих отраслях. Ряды Фурье применяются везде, где присутствуют колебания и волны: в акустике, фотографии.

---

Если не знаешь, где купить курсовую работу , мы поможем.

---

В технике связи сигнал представляется как линейная комбинация элементарных функций. Такое представление позволяет разделить решение задачи на части, используя принцип суперпозиции. Основой спектрального анализа сигналов является разложение функций в ряд Фурье. Цель работы – изучение ряда Фурье и его практическое применение. Задачи работы: дать понятие тригонометрического ряда Фурье, определить условия разложимости, рассмотреть разложение различных функций, применить ряды Фурье к решению практических задач. Объект исследования – тригонометрический ряд Фурье. Предмет работы – свойства преобразования Фурье и его применение при решении задач. Методы исследования – анализ теоретического материала и решение задач с применением теории. Работа состоит из двух глав. В первой главе описывается история рядов Фурье и дается теоретический материал. Во второй главе показывается применение рядов Фурье к решению задач.

В данной работе представлена теория рядов Фурье и их практическое применение. Описана история открытия рядов Фурье, влияние открытия на развитие науки и техники. Приведено определение периодических функций, приведены их свойства. Дано понятие тригонометрического ряда Фурье, выведены формулы коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд. На примере функции f(x)=x на отрезке [-π; π] рассмотрено применение этих формул. Показана ортогональность тригонометрической системы функций. Приведены свойства разложения в ряд Фурье. Вычисление коэффициентов может быть упрощено в случае четности или нечетности функции. Доказаны теоремы, связанные с разложением в ряд Фурье. Приведена классификация задач, связанных с рядами Фурье, по предметным областям: сферическая геометрия, теория упругости, электротехника. Изложено решение задач с применением рядов Фурье. Задача о колебании струны с закрепленными концами решается методом разделения переменных. Приведена формула общего решения задачи. Коэффициенты в общей формуле находятся с помощью преобразования Фурье функций, задающих начальные условия. Также показано практическое применение ряда Фурье при решении задачи о распространении тепла в стержне. С помощью метода разделения переменных выводится формула общего решения, в которой коэффициенты вычисляются путем преобразования Фурье начального условия.

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. – 288 с. 2. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Часть 2. – М.: МФТИ, 2005. – 213 с. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2004. – 512 с. 4. Воробьев Н. Н. Теория рядов. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, – 408 с. 5. Изосова Л.А., Изосов А.В., Грачёва Л.А. Элементы теории рядов. Учебн. пособие. – Магнитогорск: МГТУ, 2009. – 111 с. 6. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – ФИЗМАТГИЗ, 1961. – 303 с. 7. Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.2.: Изд-во "Наука". 1974. – 479 с. 8. Теория упругости, перев. с англ., Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1975 г. – 576 с. 9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 662 с. 10. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2003. — 303 с.