Решение задач

1. Задачи и теоремы к Главе 5 , задача 7. Условие задачи: Доказать, что если все точки кривой γ на поверхности являются точками уплощения , то кривая плоская. Доказательство: Пусть задана кривая γ: r = r(t). Кривая задана параметрически. Проведем через точку на кривой М(t) произвольную плоскость, задав ее единичным вектором n , ей ортогональным. Далее дадим параметру t приращение ∆t , вследствие чего сдвинемся из точки кривой М(t) в точку кривой М1(t+∆t). Приращение радиус-вектора r(t) при переходе из т.М в т.М1 есть вектор ММ1= r(t+∆t) – r(t). Разложим это приращение радиус-вектора в ряд Тейлора : вектор ММ1= r′(t)∆t/1 + r''(t)∆t*2/2! + r'''∆t*3/3! + Q∆t*4 . Проекция точки М1 на нашу плоскость есть точка Р , также отрезок РМ1 есть проекция вектора ММ1 на направление единичного вектора n , перпендикулярного нашей плоскости. Проекция любого вектора на направление единичного вектора равна их скалярному произведению, следовательно РМ1= вектору n умноженному скалярно на вектор ММ1 , следовательно РМ1= nr′(t)∆t/1 + nr''(t)∆t*2/2! + nr'''(t)∆t*3/3! + nQ∆t*4 . РМ1 - есть расстояние от точки М1 до соприкасающейся плоскости. Обозначим его через d. Тогда d= nr′(t)∆t/1 + nr''(t)∆t*2/2! + nr'''(t)∆t*3/3! + nQ∆t*4. Так как вектор n перпендикулярен векторам r' и r''( они лежат в соприкасающейся плоскости), то скалярные произведения (n,r'(t))=nr'(t)cos90=0 и (n,r''(t))=nr''(t)cos90=0 и следовательно d=nr'''(t)∆t*3/3! + nQ∆t*4. Коэффициент nr'''(t) при ∆t*3 обращается в нуль только в отдельных точках кривой, которые называются точками уплощения. В этих точках скалярное произведение nr'''(t)=0 и следовательно вектор r'''(t) перпендикулярен вектору n. Но вектор n также перпендикулярен векторам r'(t) и r''(t) , и тогда (r'(t),r''(t),r'''(t))=0. Если вся кривая состоит из точек уплощения тогда из равенства (r'(t),r''(t),r'''(t))=0 следует, что вектор r'(t) изменяясь, остается паралельным данной плоскости. Этой же плоскости паралелен и вектор r''(t). Следовательно ее нгрмальный вектор совпадает с нормальным вектором соприкасающейся плоскости и при этом постоянен. Уравнение этой касательной плоскости (n,r'(t))=0. Вследствие этого (n,r'(t))=d(n,r'(t))/dt=0(так как d0/dt=0) или (n,r(t))+C= 0 . Таким образом радиус-вектор r(t) точки кривой удовлетворяет уравнению постоянной плоскости , в которой кривая лежит всеми своими точками. Поэтому кривая, состоящая из точек уплощения , есть плоская кривая. Плоскость в которой она расположена , является соприкасающейся плоскостью во всякой точке этой кривой. 2. Задачи и теоремы к Главе 2 , задача 14. Условие задачи : Доказать, что если кривая в каждой точке имеет соприкосновение 3-го порядка с соприкасающейся плоскостью, то эта кривая плоская. Доказательство: Пусть задана кривая r = r(t). Кривая задана параметрически. Проведем через точку на кривой М(t) произвольную плоскость, задав ее единичным вектором n , ей ортогональным. Далее дадим параметру t приращение ∆t , вследствие чего сдвинемся из точки кривой М(t) в точку кривой М1(t+∆t). Приращение радиус-вектора r(t) при переходе из т.М в т.М1 есть вектор ММ1= r(t+∆t) – r(t). Разложим это приращение радиус-вектора в ряд Тейлора : вектор ММ1= r′(t)∆t/1 + r''(t)∆t*2/2! + r'''∆t*3/3! + … Проекция точки М1 на нашу плоскость есть точка Р , также отрезок РМ1 есть проекция