контрольная работа по высшей математике

1 Вопрос. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Построение математических моделей прямой и двойственной задач. Графический и симплексный методы решения задач линейного программирования. Теория двойственности, теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных переменных. Экономический анализ решения задачи линейного программирования. Решить задачу : дана математическая модель Zmax = 5х1 + 9 х2 3 х1 + 5х2 < 15, 6 х1 + 2 х2 < 28 , х1, х2 > 0 Требуется: 1. Построить математическую модель двойственной задачи. 2. Построить математическую модель прямой задачи в стандартном виде. 3. Решить задачу геометрическим и симплексным методами. 4. Определить оптимальное значение х1 и х2 и значение целевой функции. Решение 1. Построим математическую модель двойственной задачи по таким правилам: а) число переменных в двойственной задаче равняется числу неравенств в прямой; б) матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной; в) система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи; г) столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной, при этом если целевая функция в прямой задаче максимизируется, то в двойственной минимизируется. Таким образом, получим модель. Минимизировать целевую функцию: Z(y)=15y1 + 28y2 → min При ограничениях: 3y1 + 6y2≥5 5y1 + 2y2≥9 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 2. Построим математическую модель прямой задачи в стандартном (каноническом) виде. Найти максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1 + 9x2 → max При ограничениях: 3x1 + 5x2≤15 6x1 + 2x2≤28 х1, х2 > 0 Для стандартного вида прямой задачи систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 3x1 + 5x2 + 1x3 + 0x4 = 15 6x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 = 28