Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида
Такой специальный вид линейного дифференциального уравнения позволяет свести это линейное уравнение с переменными коэффициентами к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного 
для 
и 
для 
.
Действительно, при такой замене получаем: 
, и уравнение с переменными коэффициентами становится уравнением с постоянными коэффициентами. Для уравнения с постоянными коэффициентами будет иметь следующий вид: 
Приведем пример:
Пример 1
Решить уравнение Эйлера:
.
Составим характеристическое уравнение:
. Его корни
. Следовательно, общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами такое:
.
Решаем неоднородное уравнение. Составляем его, используя характеристическое уравнение:
Частное решение ищем в виде
. Подставляем в уравнение:
. Итак, решение исходного уравнения
Чтобы решить однородное уравнение можно поступить проще: искать решения в виде одночлена
. Приведем пример:
Пример 2
Решить однородное уравнение Эйлера:
. Подставим
. Корни уравнения
. Поэтому частными решениями будут:
, а общим решением исходного уравнения будет:
.
