Уравнение Клеро

Дифференциальное уравнение вида   называется уравнением Клеро. Не очень оправданное название, так как изначально это уравнение рассматривал Даламбер. Это уравнение является частным случаем уравнения Лагранжа .

Уравнение Клеро, как и уравнение Лагранжа, решается заменой: . Приведем пример:

Пример 1 Решить уравнение: .

Сделаем замену  и возьмем дифференциалы обеих частей получившегося равенства: .

Отсюда находим, во первых: . Из уравнения находим константу : . Так что одно решение . 

Во-вторых, еще решение: .

Подстановка в уравнение дает  . Таким образом, окончательный ответ:  и

Пример 2 Решить уравнение: .

Опять сделаем замену  и продифференцируем обе части уравнения:

 Далее, . Подставляем в уравнение, находим : . Таким образом, решение, зависящее от произвольной постоянной, такое: . Находим еще решение:

.

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что . 

Итак, общее решение уравнения  и огибающая семейства этого семейства  (тоже решение).

Итак, мы получили, что решение уравнения Клеро есть функция вида  и огибающая этого семейства решений, которую можно найти из уравнения: .

Вот строгое обоснование этого утверждения:    

Одно решение получается  из равенства . Это равенство дает , а подстановка этого выражения в уравнение позволяет найти . Огибающую полученного семейства  дает второе уравнение .