Уравнение касательной к графику функции

Если касательная проходит через нулевую точку в заданном графине может называться прямой только если она проходит через указанную нулевую точку, а также имеет отрезок, с множеством х, приближенных к нулевому х.

Для понимания темы требуется рассмотреть определения и понятия, ознакомиться с геометрическим смыслом и рассмотреть реальные примеры, на основании которых можно будет углубиться в тему.

Определения и понятия

Определение №1

Угол, образованный от наклона y=kb+b - «угол альфа». Он рассчитывается от оси, расположенной в положительном направлении к прямой, расположенной также в положительном направлении.

Рисунок схематически отображает расположение угла альфа относительно оси и прямой. Направление на изображении обозначено методом зеленых стрелок, а красная дуга показывает угол наклона.

Определение №2

Числовой коэффициент k– это коэффициент угла прямой. Он равняется показателю тангенса наклона при соблюдении условий:

• Угол наклона оказывается равным 0 только при условии параллельного расположения и коэффициента угла при нулевом значении, так как тангенс равняется 0. Тут y=b
• При наличии острого угла наклона условия соблюдаются. Показатели коэффициента угла – положительные, так как показатели тангенса удовлетворяют установленным условиям, из-за чего осуществляется возрастание графика
• Если угол альфа равняется Пи деленное на 2 – прямая располагается в перпендикулярном виде оси Х. Задавание равенства осуществляется выражением х=с, где с – любое число
• При наличии тупого угла, то соблюдается условие – альфа больше Пи деленное на 2, но меньше Пи. Угловой коэффициент имеет отрицательное значение

Определение №3

Секущая – прямая, проходящая через 2 точки графика функции.

На схеме четко видна секущая линия, проходящая через 2 точки на представленном графике. При этом углом альфа, выделенным красным цветом, обозначается угол наклона проведенной линии.

На представленном изображении видно, что найти тангенс в образовавшемся треугольнике можно по данных о противолежащем катете и прилежащем.

Определение №4

Сразу выполняется преобразование формулы, на основании которой можно будет найти секущую:

Получается, что вычисление коэффициента, имеющего отношение к секущей линии, осуществляется методом следующего равенства:

В результате проведение секущей на графике осуществляется его разделение на 3 основные части. Ниже представлена схема, на которой секущие создаются с использованием одного и того же уравнения, из-за чего их называют совпадающими.

На основании определения и представленного схематического изображения можно заметить, что все линии в результате совпадают.

Секущая может несколько раз осуществлять пересечение графика, а если используется равенство у=0 – количество точек пересечения с секущей линий будет бесконечным.

Определение №5

Если касательная проходит через нулевую точку в заданном графине может называться прямой только если она проходит через указанную нулевую точку, а также имеет отрезок, с множеством х, приближенных к нулевому х.

Пример

Стоит рассмотреть 5 определение методом примера для его понимания. При рассмотрении построенного графика напрашивается вывод, что прямая, которая задается функцией у=х+1, считается касательной по отношению к у равному 2 корней из х, которые имеют координаты в точках 1 и 2. Чтобы лучше понять тему, Ознакомьтесь с графиком, который приближен к точкам 1 и 2 соответственно. На представленном ниже графике функция, заданная у равному 2 корней из х, обозначается черным цветом, в синяя линяя – это дополнительная касательная, проведенная на графике. С помощью красной точки обозначено место пересечения прямых.

Посмотрите на изменение касательной, которое происходит при осуществлении бесконечного приближения В к А (касательная названа АВ). На смехе ниже данный момент отображен в простом варианте.

На представленной схеме секущая линия обозначается посредством синего цвета. При изучении изображения можно заметить, что секущая постоянно стремится к углу наклона, образуемом касательной.

Определение №6

Касательная, проведенная к построенному графику, в точке А, считается таковой при условии наличия предельного положения секущей. при условии того, что В постоянно стремится к А (секущая названа АВ).

После изучения основных определений, имеющих непосредственное отношение к касательной, секущей и функциям, перейдите к рассмотрению геометрического смысла и изучению непосредственно касательных к различным вариантам графиков.

Геометрический смысл производной функции в точке

Ознакомьтесь с геометрическим смыслом, стоит произвести рассмотрение секущей, для которой координаты А и В задаются так:

Посмотрите на треугольник с прямым углом, названный АВС. Посредством использования определения, ранее заданного для тангенса, можно будет получить соотношение, по которому тангенс равняется дельта у деленная на дельца х. При использовании определения угла касательной можно получить уравнение, на основании которого:

Обратившись к правилам производной получается, что производная, расположенная в нулевом х, - предел приращения функции к аргументу, в котором:

Получается, что производная представленной функции может располагаться в точке нулевого х, и при этом касательная, расположенная к этому же графику, может иметь точку касания в нулевом координате, из-за чего показатели коэффициента угла в данной точке имеется то же значение, что и производная в нулевой точке. Получается, что:

Уравнение касательной прямой

Чтобы осуществить корректную запись прямой, располагающейся на плоскости, потребуется наличие коэффициента угла, который имеет точку, через которую и осуществляется прохождение заданной прямой. Обозначение коэффициента – нулевой х при условии пересечения.

При этом уравнение, составленное для касательной, которая проведена к графике через нулевую точку, имеет вид: н равняется производная нулевой х умноженная на разность х и нулевого х сложенное с эф от нулевого х.

Получается, что на основании конечного значения, полученного при просчете производной, может использоваться для определения расположения касательной прямой, то есть вертикальное расположение при соблюдении следующего условия:

или же определение полностью отсутствует при соблюдении следующего условия:

Получается, что показатель расположения проведенной касательной имеет непосредственное отношение и зависимость от коэффициента угла. В случае наличия параллельности относительно оси ох, что:

При этом равнение касательной несколько преобразуется – возрастает при условии того, что к от х больше нуля, или же убывает если показатель оказывается меньше нуля.

Пример

Стоит учесть, что количество касательных к заданной функции может быть бесконечным количеством. То есть не пытайтесь найти все значения при решении геометрической задачи.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для определенных геометрических фигур, представленных на графике, имеющих заданную форму, которая не преобразуется вне зависимости от внесения корректировок в график, имеются определенные схемы решения уравнений, которые принято использовать для решения задач.

То есть чтобы решить геометрические задачи, имеющие отношение к окружности, эллипсу, гиперболе или параболе – необходимо будет следовать установленной последовательности действий и использовать определенные формы, без необходимости внесения корректировок в представленные данные. Незначительные преобразования формул для решения функций вносятся если производится решения сложной задачи, которая предполагает необходимость поиска информации или необходимости решения нескольких задач методом слияния формул.

Касательная к окружности

Чтобы произвести задавание окружности, с соответствующими координатами х центральная и у центральная, а также радиусом, обозначенным большой латинской р, используется формула: разность х и х центрального в квадрате сложенная с разностью у и у центрального в квадрате равна радиусу в квадрате.

Равенство, описанное ранее, можно будет представить, как объединения 2-х уравнений функции:

В результате построения окружности можно будет заметить, что половина функции располагается в верхней части, а вторая – в нижней. Особенно понятно подобное разграничение представлено на следующем графике:

Чтобы произвести схематическое изображение функции, а также произвести составление уравнения для окружности соответствующих точек х и у нулевые, расположенной в верхней или нижней части окружности, необходимо найти уравнение, применяемое для построенного графика в следующем виде:

После того, как в точках центрального х и центрального у сложенного с радиусом и центрального х и центрального у вычтенных из радиуса имеется возможность построения касательных на основании уравнения у равное сумме центрального у и радиуса, а также у равного разности центрального у и радиуса, а также в точках сложения центрального х с радиусом; центрального у и вычитания радиуса из центрального х; центрального у будут считать параллельными относительно оси оу, далее будет получено уравнение вида: х равняется центральный х сложенный с радиусом и х равное радиус вычтенный из центрального х.

Касательная к эллипсу

Если построенный эллипс имеет центральную точку в координатах х центральный и у центральный, а также имеет полуоси, он может быть задан посредством использования следующего уравнения:

Если касательная располагается на вершинных точках эллипса, то они считаются параллельными относится ох и оу. Для наглядного изучения данного момента стоит посмотреть на следующую схему:

Пример

При этом графическое отображение касательных на имеющемся графике будет выглядеть так:

Касательная к гиперболе

Если центральная часть гиперболы располагается в координатах х центральный и у центральный соответственно, а также если вершина располагается в точке суммы центрального х и угла альфа; центрального у и разности центрального х и угла альфа; центрального у, можно будет использовать неравенство: разность х и х центрального в квадрате деленная на угол альфа в квадрате и разности у и у центрального в квадрате деленного на угол бета в квадрате равная 1. А если вершины располагаются в точках х центральная; сумма у центрального и угла бета, а также х центрального; разности у центрального и угла бета, то задается следующие неравенство: разность х и х центрального в квадрате деленная на угол альфа в квадрате и разности у и у центрального в квадрате деленного на угол бета в квадрате равная минус 1.

Гипербола может быть представлена с использованием двух функций в объединенном варианте:

Первым вариант предполагает параллельности касательной основательно оси оу, а второй вариант применяется если наблюдается параллельность оси ох.

Получается, что чтобы осуществить нахождение уравнения, имеющего отношение непосредственно касательной к гиперболе, потребуется узнать, к какой именно функции имеет отношение точка касания. Чтобы получить эту информацию, необходимо будет произвести простую подстановку данных в уравнение, и проверить факт тождественности.

Пример

Для лучшего понимания процесс решения представленной задачи стоит рассмотреть схематическое изображение графика:

Касательная к параболе

Для составления уравнения, имеющего отношение к параболе стандартного вида в нулевых точках, потребуется применение стандартного принятого алгоритма. Стандартное уравнение будет преобразовано и получит следующий вид:

Вариант касательной в верхней точке является параллельной оси ох.

Чтобы осуществить объединение двух функций (х и у соответственно) необходимо будет произвести задание параболы с преобразованием стандартных х в ней на у. Уравнение решается по стандартному алгоритму относительно у. Из-за решения задачи получается:

Для лучшего понимания процесса решения и построения графика стоит также отобразить его в схематическом варианте:

Чтобы произвести определение нулевых точек функции, необходимо будет использовать стандартный алгоритм решения. Вариант касательной окажется параллельным оу.

Пример

При решении задач, имеющих отношение к построению графиков и осуществлению вычислений на их основании, требуется особенно высокая точность. Если линии будут проведены некорректно, осуществить точное вычисление координат определенной точки будет сложно. При допущении ошибки в построении ответ не будет соответствовать действительному результату, а потому потребуется повторное составление чертежа и проведение новых исчислений на его основании.

Построение графиков рекомендуется проводить как минимум на расчерченной в клетку бумаге, чтобы повысить точность создания рисунка, при этом обязательно используя линейку с миллиметровой шкалой.