Уравнение и его корни: определения, примеры

Коэффициенты «a,b» –числовые значения, при этом «a» не равняется 0.

• Квадратное. В математике встречается такой вид достаточно часто. Найти ответ с помощью такой записи приходится при решении текстовых задач и даже неравенств. 

- неполное квадратное уравнение – запись, в которой хотя бы один из коэффициентов «a» или «b» равняется 0.

ax²+bx=0

ax²+c=0

1. 7x²+2х=0
2. 9x²+18=0

• Кубические. Выражение в алгебре, в котором корень находится в третьей степени. 

ax³+bx²+cx+d=0

• Биквадратное. Выражение, в котором переменная находится в двойной степени. 

ax⁴+bx²+cx+d=0

• Дробное рациональное. Это запись равенства с неизвестной, когда одна из частей или обе выражены в виде дробей

• Логарифмические. Выражения, в которых содержится неизвестная переменная под знаком логарифма.

Пример

• Иррациональные. Запись, в которых корень уравнения находится под корнем:

Историческая справка!

Впервые необходимость решения равенств с неизвестной переменной возникла в Древнем Вавилоне еще 4000 лет назад. Они использовались в земледелии, астрономии, математике. Записи с переменными в квадрате впервые применялись вавилонянами около 2000 лет до нашей эры.

В Вавилоне была высоко развита алгебра, однако в их текстах отсутствуют понятия отрицательных чисел, общих методов решения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число

Понять правило всегда проще на практике. Давайте рассмотрим пример применения. Допустим, нам необходимо найти корень записи:

у+9=33

Решаем с помощью правила уменьшения на определенное число:

у – неизвестный параметр. 

Запись достаточно простая и ее можно решить помощью логических вычислений. Но бывают более сложные вычисления, поэтому на этом примере покажем, как упрощает процесс расчетов правило.

Для того чтобы выявить переменную «х», необходимо вычесть цифру 9 с левой и правой стороны. Таким образом, равенство не меняет смысл, а мы с легкостью находим неизвестное значение.

Получаем следующее:

1. у+9-9=33-9
2. у=33-9
3. у=24

Расчет выполнен верно.

Рассмотрим следующую задачу: 

Х-16=50

Х – неизвестное значение

Решаем с помощью увеличения на определенное число. Прибавляем к левой и правой части 16:

1. Х-16+16=50+16
2. Х=50+16
3. Х=66

Число 16 перенесли с левой стороны направо с противоположным знаком.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз

Правило используется в том случае, когда выражение уже логически прорешано, однако переменная содержит коэффициент. Как от него избавиться? Помогает правило. Давайте рассмотрим опять же на практике.

Допустим, что имеем:

6х=42

Все показатели находятся на своих местах, однако число 6 перед «х» мешает найти ответ. Нельзя решить выражение путем переноса, поскольку между коэффициентом и корнем стоит знак умножения. Было бы все иначе, если бы стоял знак плюс или минус. Тогда мы бы воспользовались правилом, которое рассмотрели выше.

Здесь используем правило уменьшения в несколько раз. А именно в 6 раз. Делим правую и левую стороны на эту цифру:

1. 6х/6=42/6
2. Х=42/6
3. Х=7

Осуществляем проверку:

6*7=42

Равенство удовлетворительно. 

Следующее выражение:

Умножаем обе части на 9.

Итого:

Х=27

Проверка:

Как решать уравнения? Алгоритм действий

В первую очередь начнем с правил решения линейных выражений.

Первый способ. Правило переноса.

В таком случае переносим свободное число справа налево, при этом меняя его знак на противоположный. 

Следующий способ. Правило деления.

Теперь рассмотрим алгоритм действий.

В первую очередь находим дискриминант по формуле:

D=b²-4ac

При условии, если D˂0. Значит корней нет.

Если D=0, то у есть одно верное значение. Находят его по формуле:

Если D˃0, то запись имеет 2 значения переменной. Находят их по формулам:

Метод замены. Решение биквадратных выражений осуществляется при помощи замены.

Решение кубических уравнений. Ответы находят с помощью разложения на множители. Используется теорема Безу.

Историческая справка!

Этьен Безу – математик из Франции. Большой вклад внес в развитие алгебры. Является автором шеститомного «Курса математики». Чаще всего используется следствие теории Безу, которое заключается в разложении многочленов на множители.

Решение иррациональных выражений.

Примеры

• Правило переноса

β+9=15

Переменная = β

β=15-9

β= 6

Ответ: 6

• Правило деления

Необходимо решить:

18α=36

α – неизвестный параметр, который необходимо найти.

Нужно прийти к значению коэффициента при переменной равной единице. Для этого делим обе части на одно и то же значение 18.

α=36/18

α=2      
Ответ: 2

• Решение квадратного уравнения через дискриминант

y²+5y-6=0

D= 25+24=49 

Показатель больше 0. Соответственно выражение имеет 2 решения

Ответ: 1, -6

• Метод с заменой

Вводим новую переменную: t²=z

z²-2z-3=0

Вычисляем дискриминант:

Не забываем, что нами была произведена замена.

Подставляем данные

• Решаем кубическое выражение с помощью разложения на множители

Необходимо найти корни из каждого многочлена.

1 шаг.

(β+1)=0

Выполняем перенос:

β₁=-1

Шаг 2.

Ищем значения неизвестных для второго множителя:

Найдем дискриминант

• Метод возведения в степень

Находим корень для:

Возводим обе части в квадратную степень. Получаем:

Важно! Обязательно проверяем верность вычисленного значения с помощью подстановки. Если возводим запись в четную степень, то может потеряться знак. Если в нечетную, то проблем таких не возникает.

• Находим неизвестный параметр для записи с дробями

Первое, что приходит на ум при виде такой записи – это свести все к единому знаменателю. Забываем! Проще в этом случае воспользоваться способом помножения на один и тот же множитель с целью упрощения записи.

Умножаем наши дроби на выражение 3(х+5).