Решение задачи Коши

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений является старейшим разделом математики и незаменимым инструментом современного естествознания в решении разного рода прикладных задач. Поскольку в подавляющем большинстве случаев нельзя получить точное решение дифференциального уравнения, поэтому задача построения эффективных способов приближенного решения является по-прежнему актуальной [1-2]. Объектом данного исследования является теория линейных дифференциальных уравнений. Предметом данного исследования является дифференциального уравнение . Целью данного исследования является поиск приближенного решения дифференциального уравнения методом Эйлера. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: - решить задачу Коши с помощью метода Эйлера; - оценить погрешность вычислений при решении задачи Коши; - представить полученные данные в виде таблицы 1; - построить график решения дифференциального уравнения; - по узлам с четными номерами таблицы 1 построить интерполяционный многочлен таким образом, чтобы количество данных увеличилось в пять раз; - рассчитать погрешность интерполирования; - полученные результаты представить в виде таблице 1.

---

Курсовая работа по менеджменту качества на заказ - это то, что нужно для уставшего студента. Если не хотите писать работу самостоятельно, оставляйте заказ у нас на сайте и мы обязательно вам поможем!

---

.3; - построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одном графическом окне; - аппроксимировать решение дифференциального уравнения (таблица 1.2) методом наименьших квадратов; - рассчитать погрешность аппроксимации; - полученные результаты представить в виде таблицы 1.4; - построить графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одном графическом окне; - провести анализ полученных результатов. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе строится приближенное решение задачи Коши, оценивается погрешность вычислений полученного решения, результаты решения оформляются в таблицу 1.2. Затем в программе Maple строится график решения дифференциального уравнения, по четным узлам таблицы 1.2 строится интерполяционный многочлен, рассчитывается погрешность интерполирования и полученные результаты оформляются в таблицу 1.3. Во второй главе строится решение дифференциального уравнение и интерполяционного многочлена в одном графическом окне и аппроксимируется решение дифференциального уравнения (таблица 1.2.) методом наименьших квадратов. Далее рассчитывается погрешность аппроксимации, полученные результаты оформляются в таблицу 1.4, строятся графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующего многочлена и аппроксимирующей функции в одном графическом окне и проводится анализ полученных результатов.

Поскольку далеко не во всех случаях удается найти точное аналитическое решение обыкновенного обыкновенных дифференциальных уравнений, то поиск приближенного решения дифференциальных уравнений по-прежнему является актуальной математической задачей. В современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений разработано несколько методов, позволяющих найти приближенное решение дифференциального уравнения на заданном интервале с высокой точностью. В данной работе приближенное решение дифференциального уравнения вида с начальными условиями на заданном отрезке было найдено методом Эйлера. Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и их систем. Основная идея метода Эйлера состоит в замене фрагмента графика ломаной линией. Пользуясь данным методом, мы получаем приближенное значение , так как производная не остается постоянной на промежутке длиной который представляет собой шаг интегрирования. Поэтому на каждом шаге интегрирования мы получаем определенную ошибку в определении значения функции , тем большую, чем больше длина шаг интегрирования Точность метода Эйлера составляет приблизительно Погрешность метода Эйлера не превышает величины , что вполне достаточно для данного метода. По данным полученного решения был построен интерполяционный многочлен Ньютона, который практически полностью совпал с найденным решением дифференциального уравнения, что отображено на Рис. 2. Методом наименьших квадратов была найдена аппроксимирующая функция . Данная степенная функция с высокой точностью отображает найденное решение дифференциального уравнения, поскольку погрешность аппроксимации не превышает

1. Тихонов, А.Н. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: Физматлит. – 2005. – 233 с. 2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М.: Мир. – 1972. – 720 с. 3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. – М.: Наука. – 1971. – 275 с. 4. Рейссиг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. - М.: Наука. - 1974. – 320 с. 5. Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения примеры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. - М.: Высшая школа. - 1989. – 383 с. 6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - 5-е изд. - М.: Наука. - 1976. – 576 с. 7. Liao S. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method / S. Liao. - Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton. – 2004. – Р. 43. 8. Jones D.S. Differential Equations and Mathematical Biology / D.S. Jones, B.D. Sleeman. - Chapman & Hall/CRC Press. – 2003. 9. Fedoryuk M.V. Asymptotic Analysis. Linear Ordinary Differential Equations / M.V. Fedoryuk. – Berlin: Springer-Verlag. -1993. 10. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Физматлит. - 2001. – 576 с.