Применение комплексных чисел в элементарной геометрии

Актуальность темы Следует отметить, что в рамках обычных вещественных чисел уже имеется довольно мощный аппарат для аналитического изучения геометрии, аналитическая геометрия, включающий в себя такие объекты, как векторы, которые позволяют записывать: 1) уравнения прямых и окружностей 2) вектора (точки эквивалентны векторам, начинающимся в начале координат) 3) Площади фигур 4) Углы Но комплексное число, даже будучи ограниченным двумя измерениями, представляет из себя нечто большее, нежели просто двумерный вектор, поскольку не просто линейное пространство над полем вещественных чисел, само является полем, причём содержащим в себе вещественные числа. Это позволяет выводить геометрические результаты более краткими выкладками. Цели В пункте 1.1 мы рассмотрим использование комплексных чисел для моделирования задач планиметрии. Идея уже высказана выше – каждое комплексное число естественным образом представляет собой точку двумерной плоскости. Задач стереометрии мы коснёмся в пункте 1.3, там «мощности» аппарата комплексных чисел уже не будет хватать и мы немного выйдем за рамки поля комплексных чисел, рассмотрев примеры гиперкомплексных чисел. Задачи Задачи разделим на три категории. Если в пункте 2.1 мы приведём множество упражнений на применение аппарата комплексных чисел к задачам планиметрии, то в пункте 2.

---

У наших авторов написание сочинений на заказ в Красноярске занимает минимум времени.

---

.2 – к задачам стереометрии. Между тем, в пункте 1.2 мы коснёмся специального приложения этого аппарата к задачам проективной геометрии. Это, казалось бы, та же планиметрия, но не на основе традиционных постулатов Евклида, а частный случай геометрии Лобачевского. Не смотря на то, что это – неевклидова геометрия, её модель представляется инструментами обычной планиметрии (так называемые «обобщённые окружности» играют роль прямых), поэтому появляются результаты, интересные и для обычной геометрии (задача 2.1.15).

Показано применение аппарата комплексных чисел к задачам планиметрии и произведено сравнение этого аппарата с обычной аналитической геометрией. Отдельно показано применение аппарата комплексных чисел для проективной геометрии, где аналитическая геометрия уже неприменима в принципе. В завершение были упомянуты гиперкомплексные числа, т. е., более сложные числа, чем комплексные числа. Мы их рассмотрели на примере кватернионов. Кватернионы можно применять уже к задачам стереометрии. Касательно ориентации объектов в пространстве. Рассмотрены простейшие задачи на эту тему. Рассмотрено достаточно большое число задач планиметрии, при решении которых хорошо показывает себя аппарат комплексных чисел

1. Ануфриенко С.А. Инверсия. Геометрия Мора-Маскерони: Учеб. пособие. Екатеринбург: УрФУ, 2019. 40 с. 2. Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с. 3. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. – 23 с. 4. Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 10. – М.: Изд.-во МФТИ, 1996. – 256 с. 5. Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 11. – М.: Изд.-во МФТИ, 2001. – 280 с. 6. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. — М.: МЦНМО, 2004. — 160 с.: ил. 7. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т. 1.: Планиметрия. – М.: Изд.- во МЦНМО, 2008. – 290 с. 8. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т. 2.: Стереометрия. – М.: Изд.- во МЦНМО, 2008. – 256 с. 9. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. – М.: Наука, 1991. – 620 с.: ил. 10. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. – М.: Наука, 1991. – 540 с.: ил. 11. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. – М.: Наука, 2004. – 25 с. 12. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Т. 1. – М.: Изд.-во техникотеоретической литературы, 1955. – 284 с. 13. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Т. 2. – М.: Изд.-во техникотеоретической литературы, 1956. – 612 с. 14. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М. 1963 – 192 с. 15. Watkins, Billy W.; Haise, Fred (Foreword). Apollo Moon Missions: The Unsung Heroes. — Westport, Connecticut; London: Praeger Publishers, 2006. — P. XXII—XXIV. — 202 p.