Актуальность темы исследования. Банахово пространство является одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе.
В любой математической теории, где рассматриваются множества с определенными структурами и отображения, которые зависят от вышестоящих структур, в определенный момент времени возникает проблема повторного отображения существующих структур через новые варианты отображений.
В настоящее время применяют такие понятия как морфизмы, которые подразделяются на различные категории.
Любые объекты, которые считаются морфизмами, могут быть классифицированы следующим образом:
-полиморфизмы;
-мономорфизмы.
Если объекты относятся к полиморфизмам, то их называют проективными.
Если объекты относятся к мономорфизмам, то их называют инъективными.
Для Work5 написать работу на заказ не сложно.
.
Полиморфизмы считаются бесконечными, мономорфизмы имеют конечное состояние.
Мономорфизмы относятся к моноидальным категориям, которые состоят из плоских объектов.
Плоские объекты – объекты, которые имеют постоянное во времени тензорное произведение.
Полиморфизмы относятся к полиидальным категориям, которые состоят из объемных объектов.
Объемные объекты – объекты, которые не имеют постоянное во времени тензорное произведение.
Логический смысл проективности и инъективности является основой для гомологической алгебры.
Монологическая алгебра зародилась в середине 50-х годов двадцатого века и стала неотъемлемой частью алгебраической теории чисел, внедрив новые инструменты:
-теория представлений;
-комплексный анализ;
-функциональный анализ.
Первым реалистичным результатом, который был получен в конце 20-х годов двадцатого века считается теорема Хана-Банаха, которая описывает метрическую инъективность C, известную также как банахово пространство.
В настоящее время доказано, что банахово пространство является частью гомологической алгебры, но в тот период ее постулаты еще не были сформулированы и доказаны.
Следующим шагом стала теория Нахбин и Гуднер в 1950 году о том, что существует как минимум одна точка пространства, которая является также частью единичного шара.
Данная теория основывалась на утверждении, что все метрические инъективные объекты относятся к действительным банаховым пространствам.
В свою очередь такое банахово пространство С может являться частью стоунова пространства К.
Новым витком в исследовании банахова пространства стал ученый Келли, который в 1952 году опроверг предположение от взаимосвязи банахова и стоунова пространства.
Заключительным этапом в исследовании банахова пространства стала работа Хасуми в 1958 году, которая описывала комплексные метрические инъективные объекты, входящие в банаховы пространства.
Предзаключительным этапом считается доказательство существования плоских банаховых пространств в 1955 году Гротендиком.
Такие пространства являются изометрически изоморфными L1-пространствами.
В 1966 год Кете доказал, что все топологически проективные банаховы пространства топологически изоморфны L1-пространствам.
В 1972 году Стигал и Резерфорд показали, что топологически плоские пространства – L1-пространства, с локальной структурой идентичной этим пространствам.
Итоговой работой по изучению банахового пространства считается, изданная в 2013 году доказательство Хелемским, которая описывает результаты работы Гротендика относительно метрически проективного банахового пространства — они изометрически изоморфны L1-пространствам.
Единственная нерешенная задача, связанная с банаховыми пространствами — описание топологически инъективных банаховых пространств. Некоторые ученые считают ее неразрешимой.
Параллельным курсом происходило развитие банаховой гомологии. В 1954 году Данфорд показал взаимосвязь между расширениями банаховых алгебр и спектральными операторами.
В 1962 году Камовиц, используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий банаховой алгебры с коэффициентами в банаховом бимодуле. Вскоре эта конструкция нашла применения в теории расширений и дифференцирований банаховых алгебр.
В 1970 году Хелемский обосновал новый подход к гомологии банаховых алгебр. Его идея состояла в построении варианта относительной гомологической алгебры для категорий банаховых модулей. Это понятие соотносится с гомологической алгеброй, которая отождествлена с конструкцией Эйленберга и Мура. Данная конструкция рассматривает не все эпиморфизмы и мономорфизмы, а только некоторый выделенный класс так называемых допустимых морфизмов.
При рассмотрении банаховых модулей Хелемский определил допустимые морфизмы, как морфизмы банаховых модулей, обладающие дополняемым ядром и образом. Как следствие, возникли понятия относительно проективного, инъективного и плоского банахова модуля.
На категорию банаховых модулей были перенесены многие конструкции гомологической алгебры:
-резольвента;
-производный функтор;
-группы когомологий.
Построенная теорию получила название банаховой гомологии.
Методы относительной банаховой гомологии позволили получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной полупростой банаховой алгебры и определили гомологическую интерпретацию таким топологическим понятиям как дискретность, паракомпактность и метризуемость.
В теории операторных алгебр были получены структурные теоремы о строении и некоторых несамосопряженных операторных алгебр. Самым очевидным примером является теорема Джонсона: «локально компактная группа аменабельна тогда, когда ее сверточная алгебра относительно аменабельна».
Относительная банахова гомология стремительно развивалась, и не вопросы решены до настоящего момента. С этим фактором связано отсутствие исследований других видов банаховой гомологии.
Эти виды включают в себя относительную гомологию банаховых модулей с иными классами допустимых морфизмов. Предполагалось рассматреть как более узкие, так и более широкие классы, чем класс относительно допустимых морфизмов.
Первые два варианта – допустимые морфизмы из метрической и топологической теории банаховых пространств. Метрической банаховой гомологией называется вариант относительной гомологии банаховых модулей, где допустимые мономорфизмы — это изометрические морфизмы модулей, а допустимые эпиморфизмы — это морфизмы модулей, являющиеся строгими фактор-отображениями.
Аналогично в топологической банаховой гомологии в качестве допустимых мономорфизмов исследуются морфизмы модулей, являющиеся вложениями с замкнутым образом, а в качестве допустимых эпиморфизмов рассматриваются морфизмы модулей, являющиеся открытыми отображениями. Данные типы банаховой гомологии не классифицированы
В 1967 году появились первые упоминании о метрической банаховой гомологии в работе Хаманы. Точнее, Хамана исследовал только метрическую инъективность банаховых модулей. Он дал определение инъективной оболочки банахова модуля, доказал ее существование и единственность.
Также он доказал следующий критерий: унитальная алгебра метрически инъективна как модуль над собой тогда, когда она является коммутативной алгеброй. В 1979 году метрическая банахова гомология была впервые рассмотрена в работе Гравена более подробно.
Он определил понятия метрически проективного, инъективного и плоского банахова модуля и описал простейшие свойства таких модулей.
В качестве приложений он дал критерии метрической проективности, инъективности и плоскости классических модулей гармонического анализа над сверточной алгеброй.
Подход Гравена идентичен методам относительной банаховой гомологи, но данные исследования проводились параллельно и пересекались.
История топологической банаховой гомологии также началась с исследования инъективности. В 1984 году Хелемский и Шейнберг при изучении относительной аменабельности банаховых алгебр дали определение топологически инъективного и плоского банахова модуля.
Они доказали критерий топологической плоскости циклических модулей и дали достаточное условие топологической плоскости идеалов. В следующий раз об этом направлении банаховой гомологии напомнил Уайт в 1995 году.
Его определения строго проективного, инъективного и плоского модуля учитывали нормы морфизмов, но по своей сути они были эквиваленты определениям топологической проективности, инъективности и плоскости. Уайт доказал базовые свойства этих модулей по аналогии с относительной банаховой гомологией, дал количественный аналог теоремы Шейнберга о топологической плоскости циклических модулей.
Также Уайт провел исследование некоторых гомологических свойств модулей над равномерными алгебрами.
В 2008 году Хелемский начал систематическое исследование гомологически тривиальных объектов в метрической теории. Он дал описания метрически проективных и плоских объектов для некоторых специальных категорий банаховых модулей.
После этого, в работе он предложил новый подход к доказательству базовых теорем для различных версий банаховой гомологии. Идея состояла в определении понятия проективности и свободы для так называемых оснащенных категорий.
Объект исследования - частично упорядоченное банахово пространство.
Предмет исследования – формирование частично упорядоченного банахово пространства.
Цель исследования – изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.
Задачи исследования:
-дать основные определения банахова6 пространства;
-изучить свойства предела и частично упорядоченном В-пространстве;
-рассмотреть положительные операторы и их свойства;
Методы исследования – анализ литературы, изучение существующих зависимостей объекта исследования.
Структура работы: введение, основная часть, состоящая из разделов, заключение и список использованных источников
20 страниц
68% уникальность
2022 год
73 просмотров
