Метод последовательных приближений

Дифференциальные уравнения широко применяются в математических моделях, используемых в различных областях науки и техники. Не все типы дифференциальных уравнений имеют аналитическое решение. Также во многих случаях получающиеся выражения оказываются очень сложными и неудобными для применения. В таких случаях применяются численные методы. Одним из наиболее часто применяемых методов является метод последовательных приближений. В связи с этим представляет актуальность изучение данного метода и его применение для решения дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений используется для решения задачи Коши. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения с заданными начальными условиями. Одним из основателей метода последовательных приближений был французский математик Шарль Эмиль Пикар (1856 – 1941), автор трудов по алгебраическим функциям и теории дифференциальных уравнений.

---

Хотите узнать сколько стоит заказать курсовую работу в Екатеринбурге ? Рассчитайте на нашем онлайн-калькуляторе.

---

В настоящее время существуют программы, основанные на методе последовательных приближений. Цель работы – применение метода последовательных приближений при решении дифференциальных уравнений. Задачи работы – дать определение дифференциальных уравнений и задачи Коши, описать метод последовательных приближений, показать практическое применение данного метода. Работа состоит из трех глав. В первой главе дается определение дифференциальных уравнений. Во второй главе раскрывается метод последовательных приближений. В третьей главе приводятся примеры решения задач с помощью метода последовательных приближений.

В данной работе рассмотрен метод последовательных приближений. Данный метод позволяет решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Многие дифференциальные уравнения не имеют аналитического решения. Также бывают случаи, когда аналитические решения неудобны для практического использования. В таких случаях используют численные методы, одним из которых и является метод последовательных приближений. В данной работе показано применение метода последовательных приближений на примере двух уравнений. Для уравнения, имеющего аналитическое решение, данный метод дает ряд, сходящийся к точному решению. Для уравнения, не имеющего точного решения, данный метод всего за две итерации дает приближенное решение с большой точностью. Главным недостатком метода последовательных приближений является необходимость интегрирования при каждой итерации.

1. Калиткин Н.Н. Численные методы – М.: Наука, 1978. – 512 с. 2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: УРСС, 2002. – 256 с. 3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 560 с. 4. Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 312 с. 5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: — М.: Интеграл-Пресс, 1998. — 208 с.