20 страниц
73% уникальность
2015 год
113 просмотров
Понадобилась контрольная работа срочно на заказ в спб ? Обратитесь в Work5.
. Большинство из ученых, которые изучали жизненный путь и труды Диофанта считают, что Диофант занимался разработкой решений отдельного вида задач, которые были равносильными неопределенным уравнениям, применяя при этом хитроумные, но все-таки частные методы. Но вместе с тем простейший разбор диофантовых задач показал, что Диофантом не только было поставлено проблему по решению неопределенного уравнения в рациональных числах, но и им же было разработано некоторые общие методы для его решения. При этом надо иметь в виду, что античная математика никогда не излагала общие методы решения «в чистом виде», отдельно от решаемой задачи. Теория по решению подобного рода уравнений считается классическим разделом в элементарной математике. Отметим то, что любую конкретную задачу в целых числах можно решить при помощи различных методов. В связи с вышесказанным, тема «Диофантовые уравнения», является очень актуальной для современного отечественного математического образования. Очень важен этот раздел и потому, что в последние годы диофантовые уравнения разных видов входят в базу задач типа С6 Единого Государственного Экзамена с математики Российской Федерации. Объект исследования: диофантовые уравнения. Предмет исследования: методы решения диофантовых уравнений. Целью работы является: изучение методов решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными. Задачи: - Изучить методическую литературу по данной теме; - Рассмотреть основные приемы и методы решения уравнений в целых числах; - Рассмотреть применение диофантовых уравнений к решению задач. Глава 1. Теоретические сведения о решении уравнений в целых числах 1.1.Диофантовы уравнения Определение 1: Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или система таких уравнений, имеющие целые коэффициенты, решение которых осуществляется в целых или рациональных числах[2]. Задачи диофантовой «Арифметики» можно решить при помощи уравнений, но само решение уравнения относятся больше к алгебре, чем к арифметике, и они имеют ряд особенностей: Их можно сводить к уравнению или же системе уравнений, которые имеют целочисленные коэффициенты. Обычно, в такую систему входит меньше уравнений, чем неизвестных. В самом решении требуют находить лишь целые, зачастую натуральные числа. Для решения решении уравнения в целых и натуральных числах выделим такие методы: способ перебора вариантов решения; использование алгоритма Евклида; использование метода цепных дробей; использование метода разложения на множители; решить уравнение в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной; использование метода остатков; использование метода бесконечного спуска. Для того, чтобы рассмотреть основные методы для решения данного типа уравнений изучим основные определения, леммы и теоремы. Определение 2: Пару целых чисел (a, b) называют решением диофантового уравнения с двумя переменными, если при замене x на a и y на b получаем истинное равенство[6]. Определение 3: Два уравнения с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения называют равносильными. Пример, равносильны уравнения x 2y = 5 и 9x 18y = 45 каждая пара чисел, которая удовлетворяет одному из этих данных уравнений, будет удовлетворять и второе уравнение. Уравнение с двумя переменными имеет все те же свойства, которые имеет уравнение с одной переменной: если в уравнении переносить одно из слагаемых с одной части уравнения в другую, при этом изменить его знак, то получим уравнение, равносильное данному; если левую и правую часть в уравнении умножить или же разделить на одно и то же число, отличное от нуля, тогда получим уравнение, равносильное данному. Используя диофантовые линейные уравнения с двумя неизвестными можно решать разного рода текстовые задачи, которые сводят к нахождению целых корней уравнения. С целью изучения методов решения сразу рассмотрим формулу общего решения и основные теоремы, и леммы: Формула общего решения уравнения с двумя неизвестными ax by = c (*) Лемма 1: Пусть НОД (a, b)=d и c[-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --]d. Тогда уравнение (*) не имеет решений в целых числах. Доказательство: Так как НОД (a, b) = d, то a [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] d и b [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] d, то есть a=da1, b=db1 ax by = ( da1) x (db1) y = d(a1x b1y) = c ? c[-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --]d Рассмотрим пример: 25x 35y = 54, не имеет решения в целых числах НОД (25, 35) = 5 и 54 [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] 5
